高等微积分学习笔记

第十一讲 ~ 第十二讲

罗必达

求解 \(\lim\limits _{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)：

在 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a} g(x)=\infty $ 和 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a} g(x)=0\) 两种情况中无法通过 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x\to a} g(x)\) 推知 \(\lim\limits _{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 的值。所幸，对于这两种情况均有 \(\lim\limits _{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)，前提为 \(g'(x)\neq 0\)。

函数的多项式拟合

求解 \(\lim\limits _{h\to 0} \dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}\)：

当 \(h\) 趋近于 \(0\) 时，若通过某种方式构造 \(\displaystyle f(x+h)=\sum_{i=L_1}^{R_1}{a_ih^i}+o(h^{R_1}),g(x+h)=\sum_{i=L_2}^{R_2}{b_ih^i}+o(h^{R_2}),a_{L_1}\neq 0,b_{R_1}\neq 0\)，则 \(\lim\limits _{h\to 0} \dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}=\dfrac{a_{L_1}h^{L_1}}{b_{L_2}h^{L_2}}\)。此时可以不关心 \(\lim\limits_{h\to 0}f(x+h)\) 和 \(\lim\limits_{h\to 0} g(x+h)\) 而求出极限的值。

泰勒展开

若 \(f\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可微，则

\[f(x_0+h)=\sum_{i=0}^n h^i\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}+o(h^n),h\to 0 \]

运用此方法可以构造出上述多项式来拟合函数。

第十三讲 ~ 第十四讲

不定积分

\(\displaystyle\int f(x)\text{d}g(x)\) 为导函数为 \(f(x)g'(x)\) 的所有函数的集合。