【题解】有便便的厕所(权值线段树动态开点模板题)

我只是来填坑的。

关于权值线段树的更多有关内容见此。

题面

题目描述

众所周知，\(\texttt{GM}\) 家的狗特别喜欢拉便便。\(\texttt{GM}\) 为了方便它方便，在家里修建了 \(10^9\) 个马桶，依次排开，成一条直线，为了方便，依次编号 \(1\) 到 \(10^9\) 。

\(\texttt{GM}\) 家的狗叫“地铺雀儿”,“地铺雀儿”每次会选择一个马桶方便，但是很不幸，它不会冲厕所。\(\texttt{GM}\) 为了冲厕所方便，修建了一个巨型水桶，可以一次冲掉一个区间内的每个厕所。（当然，区间上如果有没用过的厕所，也会一起冲，这样也许有些浪费水）

“地铺雀儿”还有一个特殊的爱好，它想观察某个区间上所有便便排序后的第 \(k\) 大便便在哪个厕所中，以方便跟它朋友吹嘘自己多能能拉便便。比如它观察区间 \(2\sim 10\) 中，想找出有便便的编号第 \(2\) 大的厕所，有 \(2,4,5,6\) 四个厕所各有一坨便便，那么答案就是5。

注意：“地铺雀儿”不怎么讲卫生，如果某厕所有便便了，它还可以继续在这个厕所拉便便。(也就是这个厕所里有多个便便)，这些便便也要参加排序。

给你 \(q\) 个操作：

操作 \(1\) 的格式是：1 x，表示“地铺雀儿”在x号位置拉便便；

操作 \(2\) 的格式是：2 l r，表示 \(\texttt{GM}\) 冲掉区间 \([l,r]\) 之间的所有便便，如果一个厕所有多个便便也一并冲走。

操作 \(3\) 的格式是：3 l r k，表示“地铺雀儿”想在区间l到r的范围内，包括 \(l\) 和 \(r\) ，寻找第 \(k\) 大的厕所编号(若不存在输出-1)

输入格式

第一行输入一个 \(q\)，代表询问次数 \((q\leqslant10^5)\) 接下来 \(q\) 行，每行先输入一个 \(op\)，如果op==1，则只输入一个 \(x\) ；若op==2，则输入 \(l,r\) ；若op==3，则需要输入 \(l,r,k\)。

输出格式

输出op==3时的所有询问

样例

样例输入

20
1 3
1 2
1 1
1 1
1 2
1 3
1 2
1 3
3 1 3 1
3 1 3 2
3 1 3 3
3 1 3 4
3 1 3 5
3 1 3 6
3 1 3 7
3 1 3 8
3 1 2 1
3 1 2 2
3 1 2 3
3 1 2 4

样例输出

3
3
3
2
2
2
1
1
2
2
2
1

数据范围与提示

1234.jpg

Solution

总结一下题意：

有一些带权值的 shit 和 \(q\) 个操作 \((1\leqslant q\leqslant 10^5)\) ，操作分为三种：

  • 操作一：输入 \(x\) ，将权值为 \(x\) 的 shit 的数量增加 \(1\) （权值线段树动态开点中的Insert）
  • 操作二：输入 \(l,r\) ，将权值在 \([l,r]\) 范围内的 shit 的数量清空 （区间修改中的Update）
  • 操作三：输入 \(l,r,k\) ，输出权值在 \([l,r]\) 范围内，权值第 \(k\) 大的 shit 。（权值线段树中的Query）

那么，我们发现，操作二是个区间修改，这样一来所有函数都需要Spread，所以我们先来解决操作二。

区间修改还是很好写的，首先我们先规定每一个结点存放的值：

int l,r,ll,rr;
//左儿子编号,右儿子编号,左端点,右端点
bool add;
//懒标记，标记当前值域是否被清空，因为清空只有一种固定的方式，所以将add定义为bool变量
int num;
//记录当前值域每个数的数量之和
//(不要问我为什么不写sum，因为我的sum写着写着就变成了num了)

那么Spread 就非常好打了：

void Spread(int p){
	if(a[p].add){
		int lt=a[p].l;//存左子树的编号
		int rt=a[p].r;//存右子树的编号
		//-----延伸-----
		a[lt].num=0;//清空
		a[lt].add=1;//懒标
		a[rt].num=0;//清空
		a[rt].add=1;//懒标
		//----清除-----
		a[p].add=0;//去懒标
	}
	return;
}

Spread都出来了，还愁什么Update？

首先，打出一份动态开点区间修改的板子。

因为是动态开点，我们还是要处理一下当前值域是否存在的问题。

如果当前值域不存在，也就是递归到的结点编号为默认的 \(0\) 时，就可以return了。

因为当前结点不存在，说明之前根本没有被修改过，值域中每个数出现的次数都是 \(0\) 次，相当于已经是空的了，也就不用再多此一举，手动清空了。

void Update(int p,int l,int r){
	if(!p)return;
	if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){
		a[p].num=0;
		a[p].add=1;
		return;
	}
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(l<=mid)Update(lt,l,r);
	if(r>mid)Update(rt,l,r);
	a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;
	return;
}

氮素，区间修改的次数太多也是有可能T的，我们思考，怎么减少区间修改的次数？

当 \(p\) 所表示的值域已经被打过懒标记了，就说明这个值域之前已经被清空过了，并且其中的数的数量没有新增(否则Insert会调用Spread将 \(p\) 的懒标去掉)

如果这个值域中数出现的次数之和为 \(0\) ，那么也不用清空了，本身就是空的嘛。

void Update(int p,int l,int r){//区间修改
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return;
	if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){
		a[p].num=0;
		a[p].add=1;
		return;
	}
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(l<=mid)Update(lt,l,r);
	if(r>mid)Update(rt,l,r);
	a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;
	return;
}

好的，那么接下来就是Insert。

往正常的Insert里塞个Spread就行惹。

void Insert(int p,int l,int r,int x){//单点修改 
	a[p].ll=l,a[p].rr=r;
	if(l==r){
		a[p].add=0;
		a[p].num++;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	Spread(p);
	if(x<=mid){
		if(!a[p].l)a[p].l=++tot;
		Insert(a[p].l,l,mid,x);
	}
	else{
		if(!a[p].r)a[p].r=++tot;
		Insert(a[p].r,mid+1,r,x);
	}
	a[p].num++;
	return;
}

最后，是最难搞的Query。

编号第 \(k\) 大，要怎么处理呢？

我们的权值线段树从左到右表示的数/值域是从小到大的，那么，更大的就在偏向右边的地方。（笔者表达能力不好，见谅）

如果我们要查询的区间 \([l,r]\) 被右子树包含一部分，我们就看：

权值线段树示意图
若①值域中包含的数的个数 \(\geqslant k\) ，说明第 \(k\) 大数就在①值域中，递归询问右子树。

相应的，如果①值域中包含的数的个数不到 \(k\) ，说明第 \(k\) 大的数在左子树中，递归询问左子树。

注意，此时虽然右子树没有 \(k\) 那么多个数，但是也有自己的包含数的个数（假设为 \(rdat\) 个），查询左子树时就不能再查第 \(k\) 大的了，而是 \(k-rdat\) 大的数。

int QuerySum(int p,int l,int r){
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return 0;//理由同 Update,这些情况都是包含数的个数为0的
	if(l<=a[p].ll&&r>=a[p].rr)
		return a[p].num;
	int val=0;
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(l<=mid)val+=QuerySum(lt,l,r);
	if(r>mid)val+=QuerySum(rt,l,r);
	return val;
} 
int Query(int p,int l,int r,int k){
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return -1;//理由同 Update,如果一个数也没有，也就没有第k大数的说法
	if(a[p].ll==a[p].rr){
		if(a[p].num>=k)
			return a[p].ll;
		return -1;
	}
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int rdat=0;//保存右子树的查询数据
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(r>mid){
		rdat=QuerySum(rt,l,r);
		if(k<=rdat)
		return Query(rt,l,r,k);
	}
	if(l<=mid)
		return Query(lt,l,r,k-rdat);//即使右子树没有包含询问区间，rdat也是0，不会对k产生影响
	return -1;
}

Code

坑坑洼洼的代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
const int maxn=1e9;
const int maxm=1e5*log(1e9)/log(2);
#define int long long
struct Segment_tree{
	int l,r;
	bool add;
	int num,ll,rr;
}a[maxm];
int n,tot,type,l,r,x;
void Spread(int p){
	if(a[p].add){
		int lt=a[p].l;
		int rt=a[p].r;
		a[lt].num=0;
		a[lt].add=1;
		a[rt].num=0;
		a[rt].add=1;
		a[p].add=0;
	}
	return;
}
void Insert(int p,int l,int r,int x){//单点修改 
	a[p].ll=l,a[p].rr=r;
	if(l==r){
		a[p].add=0;
		a[p].num++;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	Spread(p);
	if(x<=mid){
		if(!a[p].l)a[p].l=++tot;
		Insert(a[p].l,l,mid,x);
	}
	else{
		if(!a[p].r)a[p].r=++tot;
		Insert(a[p].r,mid+1,r,x);
	}
	a[p].num++;
	return;
}
void Update(int p,int l,int r){//区间修改
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return;
	if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){
		a[p].num=0;
		a[p].add=1;
		return;
	}
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(l<=mid)Update(lt,l,r);
	if(r>mid)Update(rt,l,r);
	a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;
	return;
}
int QuerySum(int p,int l,int r){
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return 0;
//	printf("QuerySum->[%d,%d]|%d",a[p].ll,a[p].rr,a[p].num);
	if(l<=a[p].ll&&r>=a[p].rr)
		return a[p].num;
	int val=0;
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
	if(l<=mid)val+=QuerySum(lt,l,r);
	if(r>mid)val+=QuerySum(rt,l,r);
	return val;
} 
int Query(int p,int l,int r,int k){
	if(!p||a[p].add||!a[p].num)
		return -1;
	if(a[p].ll==a[p].rr){
		if(a[p].num>=k)
			return a[p].ll;
		return -1;
	}
	Spread(p);
	int lt=a[p].l,rt=a[p].r;
	int rdat=0;
	int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
//	printf("Query->[%d,%d]\n",a[p].ll,a[p].rr);
	if(r>mid){
//		printf("[%d,%d]:right\n",a[p].ll,a[p].rr);
		rdat=QuerySum(rt,l,r);
//		printf("=%d\n",rdat);
		if(k<=rdat)
		return Query(rt,l,r,k);
	}
	if(l<=mid){
//		printf("[%d,%d]:left\n",a[p].ll,a[p].rr);
		return Query(lt,l,r,k-rdat);
	}
	return -1;
}
signed main(){
	scanf("%lld",&n);++tot;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&type);
		if(type==1){
			scanf("%lld",&x);
			Insert(1,1,maxn,x);
		}
		else if(type==2){
			scanf("%lld%lld",&l,&r);
			Update(1,l,r);
		}
		else{
			scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
			printf("%lld\n",Query(1,l,r,x));
		}
	}
	return 0;
}

end.

posted @ 2020-12-19 23:01  XSC062  阅读(157)  评论(1)  编辑  收藏  举报