随笔分类 - 数论
摘要：首先，一个分数 $\frac{p}{q}$ 在 $k$ 进制下是纯循环小数，就是 $\exists t$，$p \equiv p \times k^t \pmod q$，其中 $p \bot q$，那么即为 $k^t \equiv 1 \pmod q$，要存在解，就得 $k \bot q$。所以答案
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摘要：链接 $\sum \limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i gay(i)=\sum \limits_{i=1}^ngay(i)(n-i+1)$ 就是要求 $gay(n)$，$ngay(n)$ 的前缀和。把 $gay(n)$ 记成 $f(n)$ $$\begin{align
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摘要：链接 $$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} j k^{2} \varphi(\gcd(i, j, k))\\=& \sum_{d=1}^n d^{3} \varphi(d) \sum_{i=1}^{\left
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摘要：$$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))$$$$=\prod_{d=1}^{\min\{n,m\}}f(d)^{\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\r
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摘要：求 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)$$$$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]=\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{p|(x,y)}\mu(p)$$$$=\sum_p \mu(p)\sum_{x|i}[d|x]\sum
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摘要：$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sigma_{1}(\gcd(i, j))[\sigma_1(\gcd(i,j))\leq a]$$首先忽略 $\sigma_1(\gcd(i,j))\leq a$ 的限制即求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\
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摘要：$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\left[\left(i,j\right)\in P\right]$$$$=\sum_{p\in P}\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\left[\left(i,j\right)=p\right]$$$$=\sum
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摘要：询问拆成四个，就像矩阵数点一样。每一个询问的形式为 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)==k]$。$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\sum_{j=1}
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摘要：2154 $$\sum_{i = 1}^n \sum_{j= 1}^m lcm(i, j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \dfrac{i*j}{(i,j)}$$$$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sum_d \dfrac{ij}{d}[(\frac{i}{
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摘要：求 $S_{2}(n)=\sum \limits_{i=1}^n \sigma_0(i^2)$ 设 $f(n)=\sigma_0(n^2)$，$g(n)=2^{\omega(n)}$，$\omega(n)$ 表示 $n$ 唯一分解后有多少个不同的质因子。 那么 $f=g *1$，即 $f(n)=\s
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摘要：直角三角形的三边都可以表示为 $x=t(a^2-b^2),y=2tab,z =t(a^2+b^2)$，$t,a,b$ 都是整数且 $a>b,\gcd(a,b)=1$，$a,b$ 为一奇一偶。可以预处理出 $C_i$ 表示 $t=1$ 时有多少直角三角形的周长为 $i$，这个暴力枚举 $a$,$b$
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摘要：根据题意，一种置换的排数就是循环节长度的 $\text{lcm} + 1$。 就变成把 $n$ 个数分成任意多个数，能组成的 $\text{lcm}$ 有多少种。 考虑一个数 $n = p_1 ^ {k_1} p_2 ^ {k_2} \cdots p_m ^{k_m}$ 是否能某些数的 $\text
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摘要：因为那篇博客更不动了。。编辑一下要卡顿好久。。 还是一个题一个题更吧。。 一看到洗牌之后会等价这种就差不多是等价类计数，要用Burnside或者polya来计算。 看了好久才有点懂这部分究竟咋做。 首先要满足是一个置换群，那么就得补上单位元。 因为有颜色限制，所以不能polya，只能用Burnsid
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摘要：【传送门】 求$$\sum_{i=1}^{n} \gcd(\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor, i)$$题解写的很清楚，自己重新推一推。 $$\sum_{i=1}^{n} \gcd(\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor, i)$$ $$=\sum_{a=1}^{
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摘要：[传送门] 存个模板... #include <bits/stdc++.h> #define MAXN 100 #define MAXM 10001 #define MAXP 40000 #define MAX 400000 #define clr(ar) meset(ar, 0, sizeof(a
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摘要：[传送门] 推推式子$$ \dfrac {1}{N!} = \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} $$$$ \dfrac {1}{X} = \dfrac{1}{N!} - \dfrac{1}{Y} $$$$ \dfrac {1}{X} = \dfrac{Y - N!}{YN!} $
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摘要：链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1114/C 题意：给定数字$n$和$b$，问$n!$在$b$进制下有多少后导零。 寒假好像写过这道题当时好像完全不会，之后也没记住写法，今天想做这场的F题看到这道顺便就给切了。 思路：能有后导零就说明$n!$能
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摘要：链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/992/D $a_{i}=\dfrac {3a_{i-1}-a_{i-2}}{2}+i+1$ 移项再化一下 $a_{i}-a_{i-1}-2i=\dfrac {1}{2}\left[ a_{i-1}-a_{i-2}-2\l
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摘要：题目描述 小a是一个健忘的人，由于他经常忘记做作业，因此老师对他很恼火。 小a马上就要开学了，他学期一共2n 小a是一个健忘的人，由于他经常忘记做作业，因此老师对他很恼火。 小a马上就要开学了，他学期一共2n 天，对于第i天，他有可能写了作业，也可能没写作业，不过他自己心里还有点B数，因此他会写恰好
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摘要：题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc121/tasks/abc121_d 题目很裸（Atcoder好像都比较裸 就给一个区间求异或和 n到1e12 肯定不能O(n)推 那肯定得通过异或的一些性质 用$f\left( a,b\right)$表示[a,b]区间的异或和
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