多叉树、2-3-4树

多叉树

非叶节点的子节点可以多于两个

2-3-4树

2-3-4树的非叶节点可能含有两个、三个或四个子节点，所以叫2-3-4树；2-3-4树的非叶节点最多可以有4个子节点，所以又叫4叉树。有两个子节点的节点叫2-节点，有三个子节点的节点叫3-节点，有四个子节点的节点叫4-节点。

对非叶节点来说，节点有一个数据项总是有两个子节点，节点有两个数据项总是有三个子节点，节点有三个数据项总是有四个子节点，非叶节点最多有三个数据项和四个子节点。

所有的叶节点都在同一层上。叶节点可能含有一个、两个或三个数据项，不存在空节点。

2-3-4树的数据项的关键字也是有序的，和二叉搜索树一样；2-3-4树中一般不允许出现重复的关键字。

2-3-4树也是平衡树，即使插入一列升序或降序的的数据它依然能保持平衡。

2-3-4树不可能全部都是满节点。

效率比红黑树稍差。

查找

和二叉搜索树类似

插入

新的数据总是插在叶节点里，在查找插入的路径上，碰到满节点时，满节点要分裂，正是这种分裂保证了树的平衡。

分裂节点不是根节点的情况：

0、分裂节点的数据项分别是A、B、C

1、创建一个新的空节点，它是分裂节点的右兄弟节点

2、数据A不动，数据B上移到分裂节点的父节点中，数据C平移到新节点

3、断开分裂节点最右边的两个子节点，连接到新节点上

注意：节点分裂是把数据向上向右移动，正是这样的重新排列才保证了树的平衡。

分裂节点是根节点的情况：

1、创建新的根节点，创建新的右兄弟节点

2、其他都一样

一个插入

可以看到即使插入有序的数列，2-3-4树也可以保持平衡，因为它从不产生子节点，只产生父节点。

还可以看到叶子节点总在一层，因为总是插入在叶节点，即使叶节点满了，也只会产生新兄弟节点。

也不会存在空的叶节点，因为叶节点是分裂而来，分裂的时候一定会给新节点赋值。

2-3-4树不可能全部都是满节点。

2-3-4树的实现

Node类的实现可以包括两个数组，itemArray[3]和childArray[4]，itemArray是有序数组。

2-3-4树的效率

2-3-4树比相同数据项的红黑树层数少。红黑树的层数大约是log₂(N+1)；如果2-3-4树的每个节点都是满的，那么它的高度是log₄N，是红黑树的一半，不过2-3-4树的节点不可能都是满的，所以它的高度大于log₂(N+1)/2之间。2-3-4树的高度小于红黑树的高度，所以它的高度小于log₂(N+1)。总体来说2-3-4树的高度在log2(N+1)到log2(N+1)/2之间。
另一方面，2-3-4树要查看的数据项更多，这会增加查找时间。有的节点有一个数据项，有的节点有两个数据项，有的节点有三个数据项，平均是两个数据项，所以2-3-4树的查找时间大约是2*log₄N。
2-3-4树增加的数据项可以抵偿高度的减少，因此查找时间和红黑树大致相等，都是O(LogN)

2-3-4树转换黑红树

规则：2-节点转化为一个黑色节点；3-节点转化为两个父子节点，父节点是黑色的，谁转化为父节点无所谓；4-节点中的第二个数据项转化为父节点，黑色。