随笔分类 - 容斥原理
摘要：字符串： 1.广义后缀自动机(大小为$m$)上跑一个长度为$n$的串，所有匹配位置及在$parent$树上其祖先的数量的和为$min(n^2,m)$,单次最劣是$O(m)$。 但是如果跑多个串，总长为$n$,可以证明所有串长相等的时候复杂度更劣，设有$k$个串，那么复杂度为：$O(k(n/k)^2)
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摘要：好难啊。。。 T1 代码不打算写了。 连续期望真的恶心死了。 T2 总之是一个矩阵乘法来优化$dp$的过程。 然后矩阵和逆矩阵长得特别好看，可以优化维护。 这样复杂度就被优化下来了。 T3 讲了一次了，不过似乎大家都没有听懂。 详细的复读一次。 这个题是构造题。 首先题意转化。 我们发现一个$E$的
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摘要：生成函数的blogs:https://rqy.moe/Math/gf_correct/ 0.一堆$dp$：https://www.cnblogs.com/Lrefrain/p/12123541.html 1.UOJ 208 UOIP十合一 问你某张图有多少个边集中不存在环。 1.DAG 2.多个边数
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摘要：原题还没A我佛了。 T1 原题特别简单。 直接用$lct$维护就可以了。 又是原题我服了。 T2 把线段树开成2的整次幂。 然后交换区间就可以直接交换节点了。 区间标记该怎么打怎么打。 T3 因为做过 : 没头脑和不高兴 所以猜到这个题的答案是一个关于n的低次多项式了。 但是由于有负数幂 所以我考场
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摘要：参考的$blogs$这篇 还有具体数学。 是斯特林反演了。 首先必要的是两类斯特林数。 在定义上很重要的区别就是第一类是划分排列，而第二类是划分组合。 性质上比较重要的就是第一类是将升降幂转化为通常幂，第二类则反之。 $fr.$第一类斯特林数。 $$\left[\begin{array}{c}n\\
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摘要：今天刚学了怎么求。 这个东西是伯努力打表的时候发现的。 他打自然数幂和的表。 也就是$f_d(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}i^d$ 发现如果转化成关于$n$的多项式，系数存在规律。 也就是： $$f_d(n)=\frac{1}{d+1}\sum\limits_{i=0}^{m}\
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摘要：首先让我们考虑反演的真正原理。 $fr.$反演原理 对于两个函数$f$和$g$。 我们知道: $$g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{n,i}f(i)$$ $$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}b_{n,i}g(i)$$ 将第一个式子代入第二个。 $$\beg
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摘要：4.最值反演 也就是$Min\_Max$容斥了。 设$Max(S)$为$S$中的最大元素，$Min(S)$为最小元素。 定义式: $$Max(S)=\sum\limits_{\phi\neq T\subseteq S}(-1)^{\left|T\right|-1}Min(T)$$ 证明： 设容斥系数
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摘要：3.莫比乌斯反演。 这个比较常见了吧。现在在$hzoi$都烂大街了。 定义几个常用的函数，当作笔记了。 单位函数$$I(n)=1$$ 元函数$$e(n)=[n=1]$$ 约数个数函数$$d(n)=\sum\limits_{d|n}I$$ 约数和函数$$\sigma(n)=\sum\limits_{d
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摘要：2.二项式反演。 运用最频繁的反演之一。形式很多。 这里写一下最常用的两种形式： 至多形式： $$g(m)=\sum\limits_{i=0}^{m}\binom{m}{i}f(i)$$ $$f(m)=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}g(i)$$
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摘要：二.反演原理 0.综述 还有$zsq$学长更加浅显的解读。 反演一般就是把一个好看但难算的式子转化成一个难看且难算的式子在转化为一个难看但好算的式子。 Upd：还说是把表达式中的限制转化为bool表达式。 下面要说我知道的几种反演。 子集反演，针对的是集合交并的容斥。 二项式反演，针对组合原理的容斥
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摘要：容斥原理。 最近被容斥虐惨了，要总结一下知识点和写一些题解。 一.容斥原理 首先是很熟悉的奇加偶减的式子。 令$M$为$S$的集合。 $$\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}S_i\right|=\sum\limits_{C\subseteq M}^{n}(-1)^{size
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