激活函数是神经网络中一个重要的环节，本文将介绍为什么神经网络网络要利用激活函数，几种常用的激活函数(逻辑函数Sigmoid、双曲正切函数tanh、线性整流函数(ReLU)，神经网络中的梯度消失问题和ReLU如何避免梯度消失。
1 用激活函数的原因
如果神经网络没有进行可以提取非线性特征的卷积操作，而且该神经网络也不用激活函数，那么这个神经网络第i层输出只有Wxi+b。这样此神经网络不论有多少层，第i层的输出都是一个关于第i层输入xi的线性组合，相当于此时多层神经网络退化为一个多层的线性回归模型，难以学习如图像、音频、文本等复杂数据的特征。
正因为这个原因，神经网络要引入激活函数来给神经网络增加一些非线性的特性，所以目前常见的激活函数大多是非线性函数。这样神经网络中下一层得到的输入不再是线性组合了。
2 常见的激活函数
2.1 逻辑函数Sigmoid [1]
逻辑函数（logistic function）或逻辑曲线（logistic curve）是一种常见的S函数，它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。
一个简单的Logistic函数表达式为:
\[f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}
\]
图1 标准逻辑函数的图像
逻辑函数形如S，所以通常也叫做S形函数。
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是(0,1)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)
\]
2.2 双曲正切函数tanh [2]
双曲正切函数是双曲函数的一种。在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲正切函数的定义为
\[f\left( x \right) = \tanh \left( x \right) = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}
\]
图2 双曲正切函数的图像（同逻辑函数类似）
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是(-1,1)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = 1 - f{\left( x \right)^2}
\]
2.3 线性整流函数ReLU [3]
线性整流函数（Rectified Linear Unit, ReLU）,又称修正线性单元, 是一种人工神经网络中常用的激活函数，通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。
通常意义下，线性整流函数指代数学中的斜坡函数，即
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x\quad \quad x \ge 0 \\
0\quad \quad x < 0 \\
\end{array} \right.\]
图3 ReLU函数图像
从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞]， 值域是[0, +∞)
对f(x)求导数，易得
\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1\quad \quad x \ge 0 \\
0\quad \quad x < 0 \\
\end{array} \right.\]
3 梯度消失问题和ReLU如何处理此问题
使用S形函数作为激活的神经网络中，随着神经网络的层数增加，神经网络后面层在梯度下降中求导的梯度几乎为0，从而导致神经网络网络后面层的权值矩阵几乎无法更新。表现为随着隐藏层数目的增加，分类准确率反而下降了。这种现象叫做消失的梯度问题。
假设神经网络只有三层，用S型函数作为激活函数
第一层输入为x, 输出为S(W1x+b1)
第二层输入为S(W1x+b1)，输出为S(W2S(W1x+b1)+b2)
第三层输入为S(W2S(W1x+b1)+b2)，输出为S(W3S(W2S(W1x+b1)+b2)+b3)
同时简记住每层在激活函数处理前的值为ai, 输出为fi
假设最后损失函数为L，L是一个关于f3的函数，那么求导易得
\[\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{\partial {W_1}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\
\quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot \frac{{\partial {W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}}}{{\partial {W_1}}} \\
\quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\
\quad \quad = \cdots \\
\quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}} \cdot {W_2} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \cdot \frac{{\partial {a_1}}}{{\partial {W_1}}} \\
\end{array}\]
其中偏导数∂S/ ∂ai是造成梯度消失的原因，因为S函数的导数阈值为
\[f'\left( x \right) = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; \in \left( {0,\left. {\frac{1}{4}} \right]} \right.
\]
即有0<∂S/ ∂a1≤0.25， 0<∂S/ ∂a2≤0.25， 0<∂S/ ∂3≤0.25, 在损失函数偏导表达式中三个偏导数相乘有:
\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le 0.015625
\]
这样会减小损失函数的数值，如果神经网络是20层，则有
\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_{20}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_{19}}}} \cdots \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le {0.25^{20}} = {\rm{9}}.0{\rm{94}} \times {10^{ - 13}}
\]
这是一个更小的数，所以神经网络后几层求第一层参数W1的梯度就非常小。而ReLU函数就是为了避免梯度消失问题，因为ReLU求导只有两个值1或0，这样的话只要神经网络梯度中一条路径上的导数都是1，那么无论网络有多少层，网络后几层的梯度都可以传播到网络前几层。
参考资料
- https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
- https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
- https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks)
