NKOJ全TJ计划——NP11926

前言

学生Xuqinyu123456提供的题，正是在下。
当年这道题用作了比赛赛题，这一对是我第二磕的，至于为什么不用第一磕的那对？因为当时那对还没出现。
其实这道题还被老师偷去印在了2024-2025上期数学作业的封底
本来是给同班同学做的，共\(5\)人做出。
结果被隔壁李静偷了，然后又被不知道哪个另一个人偷了。
评论区涌现大量神奇（经）做法（据ny_123457所说）
先写题面吧。

题面

真心爱我们的人，永远在心中陪伴，这是不变的魔法。

江乡并 喜欢 张玉梢 ，但竞争对手极多（比如 王钟望 ），但他有优势，因为他会变魔术。
江乡并 给 张玉梢 表演了这个魔术： 张玉梢 拿着一堆牌，从上往下分别是\(1到x\)，然后重复执行此操作直到只剩一张牌：

若这是第偶数次操作，将排队顶部的牌扔了。
若这是第奇数次操作，将排队顶部的牌至于牌堆底。

江乡并 得知了\(x\)的值后，立马答出了最后剩下的牌的编号。
王钟望 告诉 张玉梢 江乡并 是瞎蒙的， 张玉梢 发出了\(n\)次测试，每次测试有\(x_i\)张牌，求最后剩哪张，她要求 江乡并 在一秒内回答所有询问。
江乡并 当然会做，于是他表白成功了。
他今天想考考你，于是让你来做。

另外：江乡并，张玉梢 和 王钟望 为真实人物。
输入格式
\(n\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\(\ :\)
\(x_n\)
输出格式
如题
提示
\(1\le n\le 10^5\)
\(1\le x_i\le 10^9\)

观测评论区

民间做法，都不对
做法1：偶数输出1（单个\(x_i\)正确概率约为\(0.000003\%\),建议测一下\(x_i=6\)）。
做法2：暴力（居然得1分？？？！！！）。
做法3：\(2popcount(x_i)-1\)（建议测一下\(x_i=6\)）
做法4：找到满足\(x\times(x-1)/2\le x_i\)的最大\(x\)，\(ans=2n-x(x-1)-1\)
做法5：\(2(n-2^{\lfloor log_2x_i\rfloor+1})+1\)（接近正确做法）

正确做法

\(2(n-2^{\lfloor log_2x_i\rfloor})+1\)

推导

从第\(t\)个点进行\(2^x_i\)次操作还是回到\(t\)点，这很好证