公告

什么是数位 DP

在信息学竞赛中，有一类难度不大但异常麻烦的问题——数位计数问题，这类问题的主要特点是询问的答案和一段连续的数的各个数位相关，并且需要对时间效率有一定要求。由于解决这类问题往往意味着巨大的代码量，而众多的特殊情况又意味着出现错误的巨大可能性，因此很少有人愿意解决此类问题，但只要掌握好的方法，解决这类问题也并非想象中的那样困难。

　　　　　　　　　　　　　　　　 ---------高逸涵《数位计数问题解法研究》

数位DP的解题思路

对于一个数，若其首位已经比询问上界小，则剩余位没有任何限制。此时如果能直接处理这一情况，则问题距离解决又会迈出一大步。
例如，在十进制下，计算[10000,54321]内的数字和，我们可以将其分解为：
[10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999],[50000,54321]。
前四个区间如果可以直接解决，则只需处理最后一个区间，进一步将最后一个区间划分为：
[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999],[54000,54321]。
同理将最后一个区间划分下去，最后可以得到以下区间划分：
[10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999]，
[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999]，
[54000,54099],[54100,54199],[54200,54299]，
[54300,54309],[54310,54319]，
[54320,54321]

数位DP的经典模板

该模板出处不详，大大降低了数位DP类问题的难度。

 1 typedef long long LL;
 2 const int maxn=22;
 3 int dig[maxn];
 4 LL f[maxn]/* [TODO] */;
 5 
 6 LL dfs(int pos,/* TODO */,int limit){
 7     if (pos<0) return /* TODO */;
 8     if (!limit&&f[pos]/* [TODO] */!=-1) return f[pos]/* [TODO] */;
 9     LL res=0;
10     int last=limit?dig[pos]:9;
11     for (int i=0;i<=last;i++){
12         res+=dfs(pos-1,/* TODO */,limit&&(i==last));
13     }
14     if (!limit) f[pos]/* [TODO] */=res;
15     return res;
16 }
17 
18 LL solve(LL n){
19     int len=0;
20     while (n){
21         dig[len++]=n%10;
22         n/=10;
23     }
24     return dfs(len-1,/* TODO */,1);
25 }

数位DP模板

经典题目

HDU 2089 不要62

求给定区间中不含有62和4的数的个数。

 1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int limit){
 2     if (pos<0) return fg==0;
 3     if (!limit&&f[pos][pre][fg]!=-1) return f[pos][pre][fg];
 4     LL res=0;
 5     int last=limit?dig[pos]:9;
 6     for (int i=0;i<=last;i++){
 7         res+=dfs(pos-1,i,fg||((pre==6)&&(i==2))||(i==4),limit&&(i==last));
 8     }
 9     if (!limit) f[pos][pre][fg]=res;
10     return res;
11 }

HDU 2089 不要62

HDU 3555 Bomb

求给定区间的含有49的数的个数。

 1 LL dfs(int pos,int pre,int istrue,int limit){
 2     if (pos<0) return istrue;
 3     if (!limit && f[pos][pre][istrue]!=-1) return f[pos][pre][istrue];
 4     int last=limit?dig[pos]:9;
 5     LL ret=0;
 6     for (int i=0;i<=last;i++){
 7         int ok=(pre==4)&&(i==9);
 8         ret+=dfs(pos-1,i,istrue||ok,limit&&(i==last));
 9     }
10     if (!limit) f[pos][pre][istrue]=ret;
11     return ret;
12 }

HDU 3555 Bomb

windy 数

求给定区间范围内的，求相邻数位之差绝对值不小于2的数的个数。

 1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int limit){
 2     if (pos<0) return 1;
 3     if (!limit && f[pos][pre][fg]!=-1) return f[pos][pre][fg];
 4     int last=limit?dig[pos]:9;
 5     LL ret=0;
 6     for (int i=0;i<=last;i++){
 7         if (fg==0||abs(i-pre)>=2)
 8             ret+=dfs(pos-1,i,fg||i,limit&&(i==last));
 9     }
10     if (!limit) f[pos][pre][fg]=ret;
11     return ret;
12 }

windy 数

HDU 3709 Balanced Number

平衡数。数n以数n中的某个位为支点，每个位上的数权值为（数字xi*（posi - 支点的posi）），如果数n里有一个支点使得所有数权值之和为0那么她就是平衡数。比如4139，以3为支点，左边 = 4 * (4 - 2) + 1 * (3 - 2) = 9，右边 = 9 * (1 - 2) = -9，左边加右边为0，所以4139是平衡数。现在给出一个区间[l,r]，问区间内平衡数有多少个？

 1 LL dfs(int pos,int o,int pre,int limit){
 2     LL res=0;
 3     if (pos<0)    return pre==0;
 4     if (!limit&&f[pos][o][pre]!=-1) return f[pos][o][pre];
 5     int last=limit?dig[pos]:9;
 6     for (int i=0;i<=last;i++){
 7         res+=dfs(pos-1,o,pre+i*(pos-o),limit&&(i==last));
 8     }
 9     if (!limit) f[pos][o][pre]=res;
10     return res;
11 }
12 
13 LL solve(LL n){
14     if (n<0) return 0;
15     if (n==0) return 1;
16     int len=0;
17     while (n){
18         dig[len++]=n%10;
19         n/=10;
20     }
21     LL ans=0;
22     for (int i=0;i<len;i++){
23         ans+=dfs(len-1,i,0,1);
24     }
25     ans=ans-len+1;
26     return ans;
27 }

HDU 3709 Balanced Number

CodeForces 55D Beautiful numbers

如果一个数能够被其每个数位的数都整除，那么这个数就叫做美丽数。

 1 int check(int bit,int mod){
 2     for (int i=2;i<=9;i++){
 3         if (bit&(1<<(i-2))){
 4             if (mod%i) return 0;
 5         }
 6     }
 7     return 1;
 8 }
 9 
10 LL dfs(int pos,int bit,int mod,int limit){
11     if (pos<0) return check(bit,mod);
12     if (!limit && f[pos][bit][mod]!=-1) return f[pos][bit][mod];
13     int last=limit?dig[pos]:9;
14     LL ret=0;
15     for (int i=0;i<=last;i++){
16         int nbit=bit;
17         if (i>=2) nbit|=1<<(i-2);
18         ret+=dfs(pos-1,nbit,(mod*10+i)%MOD,limit&&(i==last));
19     }
20     if (!limit) f[pos][bit][mod]=ret;
21     return ret;
22 }

CF 55D Beautiful numbers

HDU 3652 B-number

求小于n是13的倍数且含有'13'的数的个数。

 1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int md,int limit){
 2     if (pos<0) return fg&&(md==0);
 3     if (!limit&&f[pos][pre][fg][md]!=-1) return f[pos][pre][fg][md];
 4     LL res=0;
 5     int last=limit?dig[pos]:9;
 6     for (int i=0;i<=last;i++){
 7         res+=dfs(pos-1,i,fg||(pre==1&&i==3),(md*10+i)%13,limit&&(i==last));
 8     }
 9     if (!limit) f[pos][pre][fg][md]=res;
10     return res;
11 }

HDU 3652 B-number

HDU 4352 XHXJ's LIS

求[L,R]内最长递增子序列是k的数的个数。

 1 LL f[maxn][1<<10][11];
 2 int K;
 3 int dig[maxn];
 4 int getLIS(int bit){
 5     int res=0;
 6     for (int i=0;i<10;i++){
 7         if (bit&(1<<i)) res++;
 8     }
 9     return res;
10 }
11 int gaoBit(int bit,int d){
12     if (bit&(1<<d)) return bit;
13     if ((1<<d)>bit) return bit|(1<<d);
14     bit|=(1<<d);
15     for (int i=d+1;i<10;i++){
16         if (bit&(1<<i)) return bit^(1<<i);
17     }
18     return 0;
19 }
20 
21 LL dfs(int pos,int bit,int limit){
22     if (pos<0) return getLIS(bit)==K;
23     if (!limit&&f[pos][bit][K]!=-1) return f[pos][bit][K];
24     LL res=0;
25     int last=limit?dig[pos]:9;
26     for (int i=0;i<=last;i++){
27 
28         int go;
29         if (bit==0&&i==0) go=0;
30         else go=gaoBit(bit,i);
31         res+=dfs(pos-1,go,limit&&(last==i));
32     }
33     if (!limit) f[pos][bit][K]=res;
34     return res;
35 }
36 
37 LL solve(LL n){
38     int len=0;
39     while (n){
40         dig[len++]=n%10;
41         n/=10;
42     }
43     return dfs(len-1,0,1);
44 }

HDU 4352 XHXJ's LIS

HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻

中文题。需要推公式。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const int maxn=22;
 7 const int MOD=1e9+7;
 8 
 9 
10 typedef pair<LL,LL> PII;
11 typedef pair<PII,LL> PIII;
12 
13 inline LL fst(PIII a){
14     return a.first.first;
15 }
16 inline LL sec(PIII a){
17     return a.first.second;
18 }
19 inline LL thd(PIII a){
20     return a.second;
21 }
22 inline PIII makeZeroPIII(){
23     return make_pair(make_pair(0,0),0);
24 }
25 inline PIII makeOnePIII(){
26     return make_pair(make_pair(1,0),0);
27 }
28 LL power[maxn];
29 PIII f[maxn][11][8];
30 bool v[maxn][11][8];
31 int dig[maxn];
32 
33 PIII gao(PIII a, PIII b,int i,int pos){
34     PIII res=makeZeroPIII();
35     res.first.first=(fst(a)+fst(b))%MOD;//数量
36     res.first.second=(sec(a)+sec(b)+((i*power[pos])%MOD*fst(b))%MOD)%MOD;//和
37     res.second=(thd(a)+thd(b)+((2*i*power[pos])%MOD*sec(b))%MOD+(((i*i*power[pos])%MOD*power[pos])%MOD*fst(b))%MOD)%MOD;//平方和
38     return res;
39 }
40 
41 PIII dfs(int pos,int pre,int sev,int limit){
42     if (pos<0) {
43         if (pre!=0&&sev!=0) return makeOnePIII();
44         else return makeZeroPIII();
45     }
46     if (!limit&&v[pos][pre][sev]) return f[pos][pre][sev];
47     PIII res=makeZeroPIII();
48     int last=limit?dig[pos]:9;
49     for (int i=0;i<=last;i++){
50         if (i==7) continue;
51         PIII tmp=dfs(pos-1,(pre*10+i)%7,(sev+i)%7,limit&&(i==last));
52         res=gao(res,tmp,i,pos);
53     }
54     if (!limit){
55         v[pos][pre][sev]=true;
56         f[pos][pre][sev]=res;
57     }
58     return res;
59 }
60 
61 LL solve(LL n){
62     int len=0;
63     while (n){
64         dig[len++]=n%10;
65         n/=10;
66     }
67     PIII ans = dfs(len-1,0,0,1);
68     return thd(ans);
69 }
70 
71 int main()
72 {
73     memset(v,0,sizeof(v));
74     memset(power,0,sizeof(power));
75     power[0]=1;
76     for (int i=1;i<maxn;i++){
77         power[i]=(power[i-1]*10)%MOD;
78     }
79     int T;
80     cin>>T;
81     while (T--){
82         LL a,b;
83         cin>>a>>b;
84         cout<<(solve(b)-solve(a-1)+MOD)%MOD<<endl;
85     }
86     return 0;
87 }

HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻

posted on 2014-08-08 16:06 cyendra 阅读(788) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部