个人理解---中国剩余定理

 

              a1 r1    a2  r2     a3 r3 

有一个数x，除以3余2，除以5余3， 除以7余2，求x的最小值；

 

计算过程是：(70 * 2  + 21 *  3 + 15 * 2 ) % 105 = 23.

 

            (N1 * R1 + N2 * R2 + N3 * R3) % N   = x.

 

其中 70(N1)是5(A2)和7(A3)的最小公倍数，对3(A1)求余为1；

     21(N2)是3(A1)和7(A3)的最小公倍数，对5(A2)求余为1；

     15(N3)是3(A1)和7(A2)的最小公倍数，对5(A3)求余为1；

     N 为3(A1),5(A2),7(A3)的最小公倍数.

 

 

那么就可以推广到：

 

x % A1 = R1，

x % A2 = R2，

x % A3 = R3，

x % A4 = R4,

...... 

x % An = Rn.

求最小的x，其中Ai为素数;

 

N = A1 * A2 * A3 * A4 * ... * An;

 

所以我们要求出Ni, Ni=A1 * A2 *...* Ai-1 * Ai+1 *... * An * Ki,  根据Ni%Ai=1来确定Ki的值

 

x = （R1*N1 + R2*N2 + R3*N3 + ... + Rn*Nn）% N ;因为要求的是：最小整数解，所以对N求余即可；

 

 

下面关键就是求Ni，即求Ki；

因为N是所有A的乘积，Ni为除Ai外的所有Ai的倍数，所以：

Ni = N / Ai * K;(K为任意整数)；---------式1；

又因为Ni对Ai求余为1，所以：

Ni = Ai * K0 + 1;(K0为任意整数)；-------式2；

 

从上面可以看出只要我们求出K或者K0就可以求出Ni了；

 

由1,2式得N / Ai * K = Ai * K0 + 1

化简得：(N/Ai)*K + (-Ai)K0 = 1;

不难看出上式满足ax + by = gcd(a, b)

由上面的分析知道N/Ai与-Ai一定互质即gcd(N/Ai, -Ai) = gcd(N/Ai, Ai) = 1;

 

所以可以用扩展欧几里德来求解K和K0；

 

 

#include<stdio.h>

#define MAXN 22

int n, N0;

void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }
    ex_gcd(b, a%b, x, y);

    int temp = x;

    x = y;

    y = temp - a/b * y;

    if(a*b<0)///如果a和b异号那么x和y取反；理由不太清楚；
    {
        x = -x;
        y = -y;
    }
}

int China(int N[], int A[], int R[])
{
    int x = 0;

    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int K, K0;

        ex_gcd(N0/A[i], -A[i], K, K0);

        N[i] = A[i] * K0 + 1; ///或者 N[i] = N0/A[i] * K;

        x = (x + N[i] * R[i] + N0) % N0;
    }
    return (x+N0)%N0;///防止出现负数；
}

int main()
{
    int A[MAXN], R[MAXN],  N[MAXN];

    scanf("%d", &n);

    N0 = 1;

    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d %d", &A[i], &R[i]);

        N0 *= A[i];
    }
    int x = China(N, A, R);

    printf("%d\n", x);

    return 0;
}