【补充习题三】待定常数法之微分中值定理
1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)\in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导，那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t.
$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$\xi$,s.t. $f'(\xi)-\lambda=0$.
作辅助函数$$g(x)=f(x)-\lambda (x-C),C\in \mathbb{R}$$
有$g(a)=g(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=a$即可.
2.证明$Cauchy$中值定理: 设$f(x),g(x)\in C[a,b]$,且$f(x),g(x)\in C^{1}(a,b),g'(x)\neq 0$,那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t.
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,要证即存在$\xi \in (a,b)$,s.t. $f'(\xi)-\lambda g'(\xi)=0$.
作辅助函数
$$F(x)=f(x)-\lambda g(x)+C, C\in \mathbb{R}$$
有$F(a)=F(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=0$即可.
3.设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可微，且$f(a)=f(b)=0$,证明对每个$x\in (a,b)$存在$\xi \in (a,b)$,s.t.
$$f(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)$$
Proof.固定$x \in (a,b)$,设$\lambda=\frac{2f(x)}{(x-a)(x-b)}$,即要证存在$\xi \in (a,b)$,s.t. $f''(\xi)=\lambda$.
作辅助函数$$g(t)=f(t)-\frac{\lambda}{2}(t-a)(t-b)$$
则$g(a)=g(x)=g(b)=0$,在$[a,x]和[x,b]$上分别对$g(t)$应用Rolla中值定理知存在$g'(\xi_{a})=g'(\xi_{b})=0$,在$[\xi_{a},\xi_{b}]$上对$g'(t)$应用Rolle中值定理.
方法二：应用Cauchy中值定理（略）
4. 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微且有$b>a>0$成立，证明：存在$\xi$,s.t.
$$f(b)-f(a)=\ln \frac{b}{a}\xi f'(\xi) $$
Proof.设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{\ln b -\ln a}$,要证即存在$\xi\in(a,b)$s.t. $f'(\xi)-\frac{\lambda}{\xi}=0$
作辅助函数$$g(x)=f(x)-\lambda (\ln x -\ln a)$$
则$g(a)=g(b)=f(a)$, 应用Rolle中值定理即可.
方法二： 直接使用Cauchy中值定理.
5.设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微，其中$g(x)$在$(a,b)$上无零点，证明：存在$\xi\in (a,b)$,s.t.
$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$$
Proof.作辅助函数
$$F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(b)-f(a)g(x)$$
6. 设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微，证明：存在$\xi \in (a,b)$，使成立
$$2\xi [f(b)-f(a)]=(b^{2}-a^{2})f'(\xi)$$
Proof: 作辅助函数
$$g(x)=(b^{2}-a^{2})f(x)-[f(b)-f(a)]x^{2}$$
注意：若应用Cauchy中值定理，要讨论条件不满足的情况。
7.设$f$在$[0,\infty)$可微，且$0\leq f(x) \leq x/(1+x^{2})$.证明：存在$\xi >0$,s.t.
$$f'(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{(1+\xi^{2})^{2}}$$
Proof: 设$$F(x)=\frac{x}{1+x^{2}}-f(x)$$
由$0\leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}$知$f(0)=f(+\infty)=0$从而
$$F(0)=F(+\infty)$$
由广义的Rolle中值定理知存在$\xi \in (0,\infty)$,s.t.$F'(\xi)=0$.
8.设$f$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$可微，$f(0)=f(1)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=1$.证明：
(1) 存在$\eta \in (\frac{1}{2},1)$s.t. $f(\eta)=\eta$
(2) 对任何实数$\lambda$,存在$\xi \in (0,\eta)$,s.t. $f'(\xi)-\lambda(f(\xi)-\xi)=1$
Proof: (1). 设$g(x)=f(x)-x$,代入数值$g(1/2)=1/2,g(1)=-1$,由闭区间上连续函数的介值定理知存在$\eta\in (1/2,1)$,s.t. $g(\eta)=0$.
(2).作辅助函数
$$F(x)=e^{-\lambda x}\left(f(x)-x\right)$$
则$F(0)=F(\eta)=0$,应用Rolle中值定理即可。
9. 设函数$f$在$[a,b]$上可导且$ab>0$,证明：存在$\xi \in (a,b)$,s.t.
$$f(\xi)-\xi f'(\xi)=\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$$
Proof: 令$\lambda=\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$,要证即存在$\xi \in (a,b)$,s.t.$f(\xi)-\xi f'(\xi)=\lambda$
构造辅助函数
$$F(x)=\frac{f(x)-\lambda}{x}$$
则$F(a)=F(b)$,应用Rolle中值定理即可。
注：作辅助函数使用了一种“凑微分”的技巧。这种技巧在解微分方程时对应积分因子法是一种非常常见的技巧。见补充习题四。
10. 设$f$在$[a,b]$上二阶可微，证明：存在$\xi \in (a,b)$,s.t.
$$f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)=\frac{1}{4}(b-a)^{2}f''(\xi)$$
Proof.方法一：利用Lagrange型Taloy公式
$$f(a)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f'\left(\frac{a+b}{2}\right) \left(\frac{a-b}{2}\right)+\frac{1}{2}f''(\xi_{1})\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}$$
$$f(b)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f'\left(\frac{a+b}{2}\right) \left(\frac{b-a}{2}\right)+\frac{1}{2}f''(\xi_{2})\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}$$
两式相加，利用导数的介值性即可。
方法二：令$$\lambda=\frac{f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)}{\frac{1}{4}(b-a)^{2}}$$
构造辅助函数
$$F(t)=f(t)-2f\left(\frac{t+a}{2}\right)+f(a)-\lambda\frac{(t-a)^{2}}{4}$$
则,$F(a)=F(b)=0$，应用Rolle中值定理知存在$\eta \in (a,b)$,s.t.$F'(\eta)=0=F'(a)$,再次应用Rolle中值定理即可。
方法三：作辅助函数
$$\psi(x)=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)-f(x)$$
则
$$\psi\left(\frac{a+b}{2}\right)-\psi(a)=\psi'(\xi_{1})\frac{b-a}{2}=f''(\xi)\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}$$
