Nim 游戏、SG 函数、游戏的和

Nim游戏

Nim游戏定义

Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG)。满足以下条件的游戏是ICG(可能不太严谨):1、有两名选手;2、两名选手交替对游戏进行移动(move),每次一步,选手可以在(一般而言)有限的合法移动集合中任选一种进行移动;3、对于游戏的任何一种可能的局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身,不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素; 4、如果轮到某名选手移动,且这个局面的合法的移动集合为空(也就是说此时无法进行移动),则这名选手负。根据这个定义,很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3,因为红方只能移动红子,黑方只能移动黑子,合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。 

通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。

N-position,P-position

定义P-position和N-position,其中P代表Previous,N代表Next。直观的说,上一次move的人有必胜策略的局面是P-position,也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”,现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position,也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是:1.无法进行任何移动的局面(也就是terminal position)是P-position;2.可以移动到P-position的局面是N-position;3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。 
所以对于当前的局面,递归计算它的所有子局面的性质,如果存在某个子局面是P-position,那么向这个子局面的移动就是必胜策略。 
对于某个Nim游戏的局面(a1,a2,…,an)来说,要想判断它的性质以及找出必胜策略,需要计算O(a1*a2*…*an)个局面的性质。

Bouton’s Theorem

对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,…,an),它是P-position当且仅当a1^a2^…^an=0,其中^表示异或(xor)运算。

根据定义,证明一种判断position的性质的方法的正确性,只需证明三个命题:

1、这个判断将所有terminal position判为P-position;

2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position;

3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。

第一个命题显然,terminal position只有一个,就是全0,异或仍然是0。

第二个命题,对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an!=0,一定存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k,则一定存在某个ai,它的二进制表示在k的最高位上是1(否则k的最高位那个1是怎么得到的)。这时ai^k< ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k,此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。

第三个命题,对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an=0,一定不存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率,由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动。证毕。

根据这个定理,我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质,且如果它是N-position,也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。

Sprague-Grundy 函数

ICG问题

给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子,两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动,无法移动者判负。事实上,这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说,任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点,对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。

SG函数性质

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

来看一下SG函数的性质。首先,所有的terminal position所对应的顶点,也就是没有出边的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继y满足g(y)=0。

SG函数用途

以上这三句话表明,顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0(跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的)。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值,就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点,比如说,有向图上并不是只有一枚棋子,而是有n枚棋子,每次可以任选一颗进行移动,这时,怎样找到必胜策略呢?

让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时,表明对于任意一个0<=i< k,都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说,当某枚棋子的SG值是k时,我们可以把它变成0、变成1、…、变成k-1,但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏,Nim游戏的规则就是:每次选择一堆数量为k的石子,可以把它变成0、变成1、„„、变成k-1,但绝对不能保持k不变。这表明,如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子,那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略! 
刚才,我们为了使问题看上去更容易一些,认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上,而是每个棋子在一个有向图上,每次可以任选一个棋子(也就是任选一个有向图)进行移动,这样也不会给结论带来任何变化。

游戏的和

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games):设G1、G2、…、Gn是n个有向图游戏,定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。 
Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^…^g(Gn)。也就是说,游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

结语

再考虑在本文一开头的一句话:任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值,也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时,只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法,就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆,然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了!

SG函数代码模板

 1 int sg[N];  
 2 bool vis[N];  
 3 void sg_solve(int *s,int t,int N)   //N求解范围 S[]数组是可以每次取的值,t是s的长度。  
 4 {  
 5     int i,j;  
 6     memset(sg,0,sizeof(sg));  
 7     for(i=1;i<=N;i++)  
 8     {  
 9         memset(vis,0,sizeof(vis));  
10         for(j=0;j<t;j++)  
11             if(i - s[j] >= 0)  
12                 vis[sg[i-s[j]]] = 1;  
13         for(j=0;j<=N;j++)  
14             if(!vis[j])  
15                 break;  
16         sg[i] = j;  
17     }  
18 } 

 

 

参考

博弈之 Nim 游戏和 sg 函数

posted @ 2017-04-14 23:37  HuaZhang  阅读(721)  评论(0编辑  收藏  举报