计算机算法分析之渐进记号

前言

在学习计算机算法时，知道插入排序的时间复杂度是O(n²)，那O记号到底是什么意思呢？本文主要介绍几个算法分析时用到的记号。

大O记号

定义：O(g(n)) = { f(n) : 存在正常数c和n₀ ，使对所有的n >= n₀，都有 0 <= f(n) <= cg(n) }。大O记号给出函数的渐进上界。

， 则可以表示为 f(n) = O(n²)。证明：

要使得 0 <= f(n) <= cg(n)     

存在c = 9/2 ,n₀ = 1,使得对所有的n >= n₀都有 0 <= f(n) <= cg(n)。

O(g(n) 以及后面讲到的记号表示的都是集合，而f(n) = O(n²)的实际意义 是 f(n) ∈ O(n²)。

假设有 ，

则 g(n) = O(n²) , f(n) = O(n²)

大Ω记号

定义：Ω(g(n)) = { f(n) : 存在正常数c和n₀ ，使对所有的n >= n₀，都有 0 <= cg(n) <= f(n) }。大Ω记号给出函数的渐进下界。

假设有 ， 

则 g(n) = Ω(n) , f(n) = Ω(n)

大Θ记号

定义：Θ(g(n)) = { f(n) : 存在正常数c₁和c₂和n₀ ，使对所有的n >= n₀，都有 0 <= c₁g(n) <= f(n) <= c₂g(n) }。大Θ记号给出函数的渐进确界。

假设有 ，

则 g(n) = Θ(n) , f(n) =Θ(n²)

小O记号

定义：o(g(n)) = { f(n) : 对任意正常数c，存在n₀ ，使对所有的n >= n₀，都有 0 <= f(n) <= cg(n) }。小o记号给出函数的非渐进紧确的上界。

假设有 ，

则 g(n) = o(n²) , f(n) O(n²)

小记号

定义：(g(n)) = { f(n) : 对任意正常数c，存在n₀ ，使对所有的n >= n₀，都有 0 <= cg(n) <= f(n) }。小记号给出函数的非渐进紧确的下界。

假设有 ，

则 g(n) (n) , f(n) = (n)

总结

并不是所有的函数都可以渐进比较的，如果 的极限值不存在（不等于0，常数以及无穷大）。比如

的极限就不存在而且不等于无穷大。