排列组合与二项式基础
排列组合相关与二项式基础
一、加乘原理
1.加法原理
做一件事,完成他的方法可以分为\(n\)个互不相交的类,每一类有\(a_i\)中方法,则完成这件事一共有
种方法。
加法原理的核心思想就是,把“整体”分作每个“部分”,分别对每个部分进行计数,最后求和。
2.乘法原理
若完成一件事有\(n\)个步骤,每个步骤有\(a_i\)种方法,则完成这件事一共有
种方法。
乘法原理的核心思想就是,把这件事分成几个步骤,且每一个步骤的方法数目比较好确定。
加乘原理很简单,你们小学奥数学的都比本蒟蒻强,但加乘原理是计数的基础。
二、排列与组合
1.排列
一般地,从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素的一个排列,记作\(A_n^m\)(或者记作\(P_n^m\))。
由乘法原理得:
特别地,如果\(m=n\),则我们就可以得到关于\(n\)的全排列:
我们约定\(0!=1\),则排列公式可写为
这也是这个公式的更为常见的形式。
2.组合
一般地,从\(n\)个不同的元素中,任取\(m(m≤n)\)个元素为一组,叫作从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合,记作\(C_n^m\)(或者记作\(\binom{n}{m}\))
组合和排列数的区别是,组合数要求无序
所以我们可以得到:
展开我们可以得到:
关于排列和组合还有一些经典的数学问题,由于纯数学不是我们讨论的重点,这里仅给出结论,需要证明的可以自行在网上查阅。
1.可重排列:\(n^m\)
2.有限元素的可重排列:\(\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times \dots \times n_m!}\)
3.可重组合:\(C_{n+m-1}^m\)
4.有限元素的可重组合:\(C_{m+k-1}^{k-1}\)(这里\(k\)小于等于每个元素的数量)
三、二项式相关
1.二项式系数与二项式定理
组合数\(C_n^m\)也被称作二项式系数,它有三重面目:
1.组合意义:\(n\)个不同元素的\(m\)-组合
2.显示表示:\(C_n^m=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\)
3.二项展开式的系数,即有恒等式
上面的恒等式称为二项式定理。
二项式定理的证明有很多种,这里给出一种基于其组合意义的证明:
显然
对于其中的一项\(x^iy^{n-i}\),相当于是从\(n\)个\((x+y)\)中任意取\(i\)个,从中挑出\(x\),再在剩下的\((x+y)\)中挑出\(y\)来相乘,所以该项的系数是\(C_n^i\),由此不难验证二项式定理。
2.组合恒等式
常见的组合恒等式有以下几个,它们大多都和二项式相关
1.(对称性)
2.(递推公式)
3.
4.(单峰性)若\(n\)是偶数,则
若\(n\)是奇数,则
5.
6.
7.(范德蒙恒等式)
8.
9.
它们的证明如下:
1.从\(n\)个数中选\(m\)个数,他们呢构成了一个,剩下没选的数也构成了一个集合,等式一显然成立。
2.假设我们现在面对的是第\(n\)号元素,我们无非就两种选择:选和不选。
如果我们选择第\(n\)号元素,那么我们就需要在前\(n-1\)个元素中选\(m-1\)个元素。
如果我们不选择第\(n-1\)号元素,那么我们就需要在前\(n-1\)一元素中选\(m\)个元素。
由加法原理不难验证等式2的正确性。
3.从\(n\)个元素中取任意个元素,要么选,要么不选,所以是\(2^n\)种。
我们也可以看成取0个,取1个, 取2个,...,取\(n\)个,就相当于等式的左边。
所以等式3成立。
4.我们完全可以通过暴力展开的形式来证明,或者我们结合性质1也不难证明
5.反复运用递推公式,我们有:
6.在二项式定理中取\(x=1\),\(y=-1\)即可。
推论:
7.同样地,我们仍然可以暴力展开证明,但很麻烦。
我们仍然考虑从它的组合意义上证明。
如果我们从\(n\)个zrw和\(m\)个lsy中任意选取\(k\)个人组成一组,显然,答案为\(C_{n+m}^k\)。
所有的方案可以分为\(k+1\)个类:第\(i\)类由\(i\)个zrw和\(k-i\)个lsy组成一组(\(i\in[0,k]且i\in \Z\)),每一类的答案就是\(C_n^iC_m^{k-i}\),根据加法原理不难验证等式7的正确性。
8&9.暴力展开得
当\(k=1\)时即为等式8
3.二项式反演
这部分可以看看本蒟蒻的一篇博客:二项式反演笔记
四、组合数的求法
1.递推公式法
我们先令\(C_i^0=1\),通过组合数的递推公式
即可求得
时间复杂度为\(O(n^2)\)。
for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++)
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
2.显示表示法
注:除第一种方法意外,其他所有方法均是在模数意义下求组合数的值
我们可以先求分子\(n!\)的值,然后对分母\(m!(n-m)!\)来求模\(p\)意义下的逆元,最后相乘即可。
时间复杂度为\(O(n)\)。
如果我们是批量求组合数的话,我们可以做到更优。
我们先预处理\(i!\)以及\(i!\)模\(p\)意义下的逆元,时间复杂度为\(O(n)\)
(求逆元时第一个数为\(O(\log n)\),之后根据阶乘逆元的性质我们可以在\(O(n)\)的时间内求得)
然后我们可以在\(O(1)\)的时间内回答询问:f[n] * invf[m]%p * invf[n-m]%p
关于预处理阶乘逆元,有
证明:
3.Lucas定理
若\(p\)是质数,则对于\(1\le m\le n\),有
也就是把\(n\)和\(m\)进行\(p\)进制分解,然后分别求它们每一位对应的组合数的值。
我们可以用类似于生成函数的方法来证明Lucas定理。
设\(n=ap+r_1\),\(m=bp+r_2\)
我们取这样一个式子:
当\(p\)为质数时,对于\(i\in[1,p-1]且i\in N^*\),我们可以得到
(结合组合数的显示表示不难证明)
于是
(结合二项式定理不难理解)
整理得
对于左边展开的一项\(x^{bp+r_2}\),他对应的系数是\(C_n^{bp+r_2}\)。
而当且仅当右边的\(i=b\),\(j=r_2\)时才能对应左边的\(x^{bp+r_2}\),此事它所对应的系数为\(C_a^b\times C_{r_1}^{r_2}\)
整理得
证毕。
Lucas定理一般用于模数为质数,且\(n\),\(m\)都较大时。它需要与上面得两种方法配合起来使用。
来道模板题吧:P3807 【模板】卢卡斯定理
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define FUCK puts("FUCK")
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
int T;
int n,m,p;
int f[maxn];
inline int ksm(int x,int y){
if(!y) return 1;
if(y==1) return x%p;
int tmp=ksm(x,y/2);
tmp=(tmp*tmp)%p;
if(y&1) return (tmp*x)%p;
else return tmp;
}
inline int calc(int x,int y){
if(y>x) return 0;
return f[x]*ksm(f[y],p-2)%p*ksm(f[x-y],p-2)%p;
}
inline int Lucas(int x,int y){
if(!y) return 1;
return (calc(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p))%p;
}
signed main(){
scanf("%lld",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
f[0]=1;
for(int i=1;i<=p;i++) f[i]=(f[i-1]*i)%p;
printf("%lld\n",Lucas(n+m,n));
}
return 0;
}
另外,求组合数还有一种方法:exLucas。不过这种方法相对上面的方法比较难写,一般直接用Lucas就够了。
如有不足尽请指正,谢谢!
参考资料:
1.华东师范大学出版社 《奥数教程》高中第三分册
2.李煜东 《算法竞赛进阶指南》