SJ定理——省选前的学习2

——博弈论？上SG定理！什么？不行？那就SJ定理吧。

原来还有这么个玩意。。。

bzoj1022.

大意是Nim取石子游戏中取到最后一个石子就算输，即无法取了就获胜（原版是无法取了就输）。

我们试图套SG定理。。。$SG_0$=??

比如我令SG[0]=1，那么问题来了：两堆石子，个数均为0，应该是先手必胜，但$SG_0 \oplus SG_0 = 0$，所以不合法。

SJ定理：

若把SG游戏中的空状态定义为必胜状态，那么状态是先手必胜当且仅当下述条件同时成立或同时不成立：

1： $SG_S = 0$

2： $\forall x \in S  \; SG_x \leq 1$

其中，$SG_S$是状态的SG值，$SG_x$是各子问题的SG值。

 

证明（不想看请跳过）：

首先，终止状态由于满足两个条件，所以必胜。

 

其次，证明必败态的后继全是必胜态：

1：若满足条件1而不满足2，那么$SG$值大于$1$的一定不止一个（因为异或中小于等于$1$的之会影响最后一位，所以前面所有位必须有至少两个数，即至少有两个数大于$1$），那么，进行一步后$SG$值一定非零，且还是有大于$1$的，即两条件都不满足。

2：若满足条件2而不满足条件1，可以发现现在一定只有奇数个$1$和若干$0$。那么现在有两种可能：

　　(1)将一个$1$变成$0$，或将一个$0$变成$1$（注意，$SG$值可以变大，但不会不变），那么条件1得到满足，且条件2仍满足，即为必胜态；

　　(2)将一个数变得大于$1$。此时可发现$SG$值异或和必不为$0$，所以两条件都不满足，为必胜态。

 

最后，证明必胜态至少有一个后继是必败态：

1：若两条件都满足，那么必有偶数个$1$和若干$0$，此时只需要将一个$1$变成$0$，就会使条件1不满足。

2：若两条件都不满足，那么：

　　(1)若只有一个数大于$1$，那么将其变为$0$和变为$1$都会满足条件2，且必有一个选择使$SG$值不为$0$，即为必败态；

　　(2)否则，后继必不满足条件2，此时类似于SG定理，必定能使$SG$值变为0，即为必败态。

证毕。

 

附AC代码：

 

#include <cstdio>
int main() {
  int T, n, x, y, t;
  for (scanf("%d", &T); T; --T) {
    for (scanf("%d", &n), y = t = 0; n; --n) {
      scanf("%d", &x);
      y ^= x;
      t |= x > 1;
    }
    puts((!!y ^ t) ? "Brother" : "John");
  }
  return 0;
}