前端学数据结构之图

前面的话

  本文将详细介绍图这种数据结构,包含不少图的巧妙运用

 

数据结构

  图是网络结构的抽象模型。图是一组由边连接的节点(或顶点)。图是重要的,因为任何二元关系都可以用图来表示

  任何社交网络,例如Facebook、Twitter和Google plus,都可以用图来表示。还可以使用图来表示道路、航班以及通信状态,如下图所示:

graph1

  一个图G = (V, E)由以下元素组成

V:一组顶点
E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示一个图:

graph2

  在着手实现算法之前,先了解一下图的一些术语

  由一条边连接在一起的顶点称为相邻顶点。比如,A和B是相邻的,A和D是相邻的,A和C是相邻的,A和E不是相邻的。

  一个顶点的度是其相邻顶点的数量。比如,A和其他三个顶点相连接,因此,A的度为3;E和其他两个顶点相连,因此,E的度为2。

  路径是顶点v1,v2,…,vk的一个连续序列,其中vi和vi+1是相邻的。以上一示意图中的图为例,其中包含路径A B E I和A C D G。

  简单路径要求不包含重复的顶点。举个例子,ADG是一条简单路径。除去最后一个顶点(因为它和第一个顶点是同一个顶点),环也是一个简单路径,比如ADCA(最后一个顶点重新回到A)

  如果图中不存在环,则称该图是无环的。如果图中每两个顶点间都存在路径,则该图是连通的

【有向图和无向图】

  图可以是无向的(边没有方向)或是有向的(有向图)。如下图所示,有向图的边有一个方向:

graph3

  如果图中每两个顶点间在双向上都存在路径,则该图是强连通的。例如,C和D是强连通的,而A和B不是强连通的。

  图还可以是未加权的(目前为止我们看到的图都是未加权的)或是加权的。如下图所示,加权图的边被赋予了权值:

graph4

  可以使用图来解决计算机科学世界中的很多问题,比如搜索图中的一个特定顶点或搜索一条特定边,寻找图中的一条路径(从一个顶点到另一个顶点),寻找两个顶点之间的最短路径,以及环检测

 

图的表示

  从数据结构的角度来说,有多种方式来表示图。在所有的表示法中,不存在绝对正确的方式。图的正确表示法取决于待解决的问题和图的类型

【邻接矩阵】

  图最常见的实现是邻接矩阵。每个节点都和一个整数相关联,该整数将作为数组的索引。我 们用一个二维数组来表示顶点之间的连接。如果索引为i的节点和索引为j的节点相邻,则array[i][j] === 1,否则array[i][j] === 0,如下图所示:

graph5

  不是强连通的图(稀疏图)如果用邻接矩阵来表示,则矩阵中将会有很多0,这意味着我们浪费了计算机存储空间来表示根本不存在的边。例如,找给定顶点的相邻顶点,即使该顶点只有一个相邻顶点,我们也不得不迭代一整行。邻接矩阵表示法不够好的另一个理由是,图中顶点的数量可能会改变,而2维数组不太灵活

【邻接表】

  也可以使用一种叫作邻接表的动态数据结构来表示图。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。存在好几种方式来表示这种数据结构。我们可以用列表(数组)、链表,甚至是散列表或是字典来表示相邻顶点列表。下面的示意图展示了邻接表数据结构

graph6

  尽管邻接表可能对大多数问题来说都是更好的选择,但以上两种表示法都很有用,且它们有着不同的性质(例如,要找出顶点v和w是否相邻,使用邻接矩阵会比较快)

【关联矩阵】

  还可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。如下图所示,使用二维数组来表示两者之间的连通性,如果顶点v是边e的入射点,则array[v][e] === 1; 否则,array[v][e] === 0

graph7

  关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的情况下,以节省空间和内存

 

创建Graph类

  声明类的骨架:

function Graph() {
  var vertices = []; //{1}
  var adjList = new Dictionary(); //{2}
}

  使用一个数组来存储图中所有顶点的名字(行{1}),以及一个字典来存储邻接表(行{2})。字典将会使用顶点的名字作为键,邻接顶点列表作为值。vertices数组和adjList字典两者都是我们Graph类的私有属性

  接着,将实现两个方法:一个用来向图中添加一个新的顶点(因为图实例化后是空的),另外一个方法用来添加顶点之间的边

  先实现addVertex方法:

this.addVertex = function(v){ 
  vertices.push(v); //{3} 
  adjList.set(v, []); //{4}
};

  这个方法接受顶点v作为参数。将该顶点添加到顶点列表中(行{3}),并且在邻接表中,设置顶点v作为键对应的字典值为一个空数组(行{4})

  现在,来实现addEdge方法:

this.addEdge = function(v, w){ 
  adjList.get(v).push(w); //{5}
  adjList.get(w).push(v); //{6}
};

  这个方法接受两个顶点作为参数。首先,通过将w加入到v的邻接表中,添加了一条自顶点v到顶点w的边。如果想实现一个有向图,则行{5}就足够了。如果是基于无向图的,需要添加一条自w向v的边(行{6})

  下面来测试这段代码:

var graph = new Graph();
var myVertices = ['A','B','C','D','E','F','G','H','I']; //{7}
for (var i=0; i<myVertices.length; i++){ //{8} 
  graph.addVertex(myVertices[i]);
}
graph.addEdge('A', 'B'); //{9}
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

  为方便起见,创建了一个数组,包含所有想添加到图中的顶点(行{7})。接下来,只要遍历vertices数组并将其中的值逐一添加到我们的图中(行{8})。最后,添加想要的边(行{9})。这段代码将会创建一个图,也就是到前面的示意图所使用的

  为了更方便一些,下面来实现一下Graph类的toString方法,以便于在控制台输出图

this.toString = function(){ 
  var s = '';
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{10} 
    s += vertices[i] + ' -> ';
    var neighbors = adjList.get(vertices[i]); //{11} 
    for (var j=0; j<neighbors.length; j++){ //{12}
      s += neighbors[j] + ' ';
    }
    s += '\n'; //{13}
  }
  return s;
};

  我们为邻接表表示法构建了一个字符串。首先,迭代vertices数组列表(行{10}),将顶点的名字加入字符串中。接着,取得该顶点的邻接表(行{11}),同样也迭代该邻接表(行{12}),将相邻顶点加入我们的字符串。邻接表迭代完成后,给我们的字符串添加一个换行符(行{13}),这样就可以在控制台看到一个漂亮的输出了。运行如下代码:

console.log(graph.toString());

  输出如下:

A -> B C D 
B -> A E F
C -> A D G D -> A C G H
E -> B I F -> B G -> C D
H -> D I -> E

  从该输出中,顶点A有这几个相邻顶点:B、C和D

 

图的遍历

  和树数据结构类似,可以访问图的所有节点。有两种算法可以对图进行遍历:广度优先搜索(Breadth-First Search,BFS)和深度优先搜索(Depth-First Search,DFS)。图遍历可以用来寻找特定的顶点或寻找两个顶点之间的路径,检查图是否连通,检查图是否含有环等

  在实现算法之前,需要理解图遍历的思想方法。图遍历算法的思想是必须追踪每个第一次访问的节点,并且追踪有哪些节点还没有被完全探索。对于两种图遍历算法,都需要明确指出第一个被访问的顶点

  完全探索一个顶点要求我们查看该顶点的每一条边。对于每一条边所连接的没有被访问过的顶点,将其标注为被发现的,并将其加进待访问顶点列表中

  为了保证算法的效率,务必访问每个顶点至多两次。连通图中每条边和顶点都会被访问到

  广度优先搜索算法和深度优先搜索算法基本上是相同的,只有一点不同,那就是待访问顶点列表的数据结构

算法           数据结构    描    述
深度优先搜索    栈         通过将顶点存入栈中,顶点是沿着路径被探索的,存在新的相邻顶点就去访问
广度优先搜索    队列      通过将顶点存入队列中,最先入队列的顶点先被探索

  当要标注已经访问过的顶点时,用三种颜色来反映它们的状态

白色:表示该顶点还没有被访问。
灰色:表示该顶点被访问过,但并未被探索过。
黑色:表示该顶点被访问过且被完全探索过。

  这就是之前提到的务必访问每个顶点最多两次的原因

【广度优先搜索】

  广度优先搜索算法会从指定的第一个顶点开始遍历图,先访问其所有的相邻点,就像一次访问图的一层。换句话说,就是先宽后深地访问顶点,如下图所示:

graph8

  以下是从顶点v开始的广度优先搜索算法所遵循的步骤

  (1) 创建一个队列Q。
  (2) 将v标注为被发现的(灰色),并将v入队列Q。
  (3) 如果Q非空,则运行以下步骤:
    (a) 将u从Q中出队列;
    (b) 将标注u为被发现的(灰色);
    (c) 将u所有未被访问过的邻点(白色)入队列;
    (d) 将u标注为已被探索的(黑色)

  下面来实现广度优先搜索算法:

var initializeColor = function(){ 
  var color = [];
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){
    color[vertices[i]] = 'white'; //{1}
  }
  return color;
};
this.bfs = function(v, callback){
  var color = initializeColor(), //{2} 
  queue = new Queue();    //{3} 
  queue.enqueue(v);        //{4}
  while (!queue.isEmpty()){    //{5} 
    var u = queue.dequeue(),    //{6}
    neighbors = adjList.get(u); //{7}
    color[u] = 'grey';    // {8} 
    for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ // {9}
      var w = neighbors[i];    // {10}
      if (color[w] === 'white'){    // {11}
        color[w] = 'grey';    // {12}
        queue.enqueue(w);    // {13}
      }
    }
    color[u] = 'black'; // {14} 
    if (callback) {    // {15}
      callback(u);
    }
  }
};

  广度优先搜索和深度优先搜索都需要标注被访问过的顶点。为此,将使用一个辅助数组color。由于当算法开始执行时,所有的顶点颜色都是白色(行{1}),所以可以创建一个辅助函数initializeColor,为这两个算法执行此初始化操作

  下面来深入广度优先搜索方法的实现。要做的第一件事情是用initializeColor函数来将color数组初始化为white(行{2})。还需要声明和创建一个Queue实例(行{3}),它将会存储待访问和待探索的顶点。bfs方法接受一个顶点作为算法的起始点。起始顶点是必要的,将此顶点入队列(行{4})。如果队列非空(行{5}),将通过出队列(行{6})操作从队列中移除一个顶点,并取得一个包含其所有邻点的邻接表(行{7})。该顶点将被标注为grey(行{8}),表示发现了它(但还未完成对其的探索)。

  对于u(行{9})的每个邻点,取得其值(该顶点的名字——行{10}),如果它还未被访问过(颜色为white——行{11}),则将其标注为已经发现了它(颜色设置为grey——行{12}),并将这个顶点加入队列中(行{13}),这样当其从队列中出列的时候,可以完成对其的探索。当完成探索该顶点 和其相邻顶点后,将该顶点标注为已探索过的(颜色设置为black——行{14})

  实现的这个bfs方法也接受一个回调。这个参数是可选的,如果传递了回调函数(行{15}),会用到它。执行下面这段代码来测试一下这个算法:

function printNode(value){ //{16} 
  console.log('Visited vertex: ' + value); //{17}
}
graph.bfs(myVertices[0], printNode); //{18}

  首先,声明了一个回调函数(行{16}),它仅仅在浏览器控制台上输出已经被完全探索过的顶点的名字。接着,调用bfs方法,给它传递第一个顶点(A——myVertices数组)和回调函数。执行这段代码时,该算法会在浏览器控制台输出下示的结果:

Visited vertex: A 
Visited vertex: B 
Visited vertex: C 
Visited vertex: D 
Visited vertex: E 
Visited vertex: F 
Visited vertex: G 
Visited vertex: H 
Visited vertex: I

  顶点被访问的顺序和示意图中所展示的一致

  考虑如何来解决下面这个问题。给定一个图G和源顶点v,找出对每个顶点u,u和v之间最短路径的距离(以边的数量计)。 对于给定顶点v,广度优先算法会访问所有与其距离为1的顶点,接着是距离为2的顶点,以此类推。所以,可以用广度优先算法来解这个问题。可以修改bfs方法以返回给我们一些信息:

从v到u的距离d[u];
前溯点pred[u],用来推导出从v到其他每个顶点u的最短路径。

  下面是改进过的广度优先方法的实现:

this.BFS = function(v){
  var color = initializeColor(), 
      queue = new Queue(),
      d = [],    //{1}
      pred = []; //{2}
      queue.enqueue(v);
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{3} 
    d[vertices[i]] = 0;    //{4}
    pred[vertices[i]] = null;    //{5}
  }
  while (!queue.isEmpty()){ 
    var u = queue.dequeue(),
    neighbors = adjList.get(u);
    color[u] = 'grey';
    for (i=0; i<neighbors.length; i++){ 
      var w = neighbors[i];
      if (color[w] === 'white'){
        color[w] = 'grey';
        d[w] = d[u] + 1;    //{6}
        pred[w] = u;    //{7}
        queue.enqueue(w);
      }
    }
  color[u] = 'black';
  }
  return { //{8} 
    distances: d, 
    predecessors: pred
  };
};

  还需要声明数组d(行{1})来表示距离,以及pred数组来表示前溯点。下一步则是对图中的每一个顶点,用0来初始化数组d(行{4}),用null来初始化数组pred。发现顶点u的邻点w时,则设置w的前溯点值为u(行{7})。还通过给d[u]加1来设置v和w之间的距离(u是w的前溯点,d[u]的值已经有了)。方法最后返回了一个包含d和pred的对象(行{8})

  现在,可以再次执行BFS方法,并将其返回值存在一个变量中:

var shortestPathA = graph.BFS(myVertices[0]); 
console.log(shortestPathA);

  对顶点A执行BFS方法,以下将会是输出:

distances: [A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2 , I: 3],
predecessors: [A: null, B: "A", C: "A", D: "A", E: "B", F: "B", G:"C", H: "D", I: "E"]

  这意味着顶点A与顶点B、C和D的距离为1;与顶点E、F、G和H的距离为2;与顶点I的距离为3。通过前溯点数组,可以用下面这段代码来构建从顶点A到其他顶点的路径:

var fromVertex = myVertices[0]; //{9}
for (var i=1; i<myVertices.length; i++){ //{10} 
  var toVertex = myVertices[i], //{11}
  path = new Stack();    //{12} 
  for (var v=toVertex; v!== fromVertex; v=shortestPathA.predecessors[v]) { //{13} 
    path.push(v);    //{14}
  }
  path.push(fromVertex);    //{15}
  var s = path.pop();    //{16} 
  while (!path.isEmpty()){    //{17}
    s += ' - ' + path.pop(); //{18}
  }
  console.log(s); //{19}
}

  用顶点A作为源顶点(行{9})。对于每个其他顶点(除了顶点A——行{10}),会计算顶点A到它的路径。从顶点数组得到toVertex(行{11}),然后会创建一个栈来存储路径值(行{12})。接着,追溯toVertex到fromVertex的路径{行{13}}。变量v被赋值为其前溯点的值,这样能够反向追溯这条路径。将变量v添加到栈中(行{14})。最后,源顶点也会被添加到栈中,以得到完整路径。

  这之后,创建了一个s字符串,并将源顶点赋值给它(它是最后一个加入栈中的,所以它是第一个被弹出的项 ——行{16})。当栈是非空的,就从栈中移出一个项并将其拼接到字符串s的后面(行{18})。最后(行{19})在控制台上输出路径。执行该代码段,会得到如下输出:

A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A    - B - E - I

  这里,得到了从顶点A到图中其他顶点的最短路径(衡量标准是边的数量)

  如果要计算加权图中的最短路径(例如,城市A和城市B之间的最 短路径——GPS和Google Maps中用到的算法),广度优先搜索未必合适。

  举些例子,Dijkstra’s算法解决了单源最短路径问题。Bellman–Ford算法解决了边权值为负的单源最短路径问题。A*搜索算法解决了求仅一对顶点间的最短路径问题,它用经验法则来加速搜索过程。Floyd–Warshall算法解决了求所有顶点对间的最短路径这一问题。

  图是一个广泛的主题,对最短路径问题及其变种问题,有很多的解决方案。但在开始学习这些其他解决方案前,需要掌握好图的基本概念

【深度优先搜索】

   深度优先搜索算法将会从第一个指定的顶点开始遍历图,沿着路径直到这条路径最后一个顶点被访问了,接着原路回退并探索下一条路径。换句话说,它是先深度后广度地访问顶点,如下图所示:

graph9

  深度优先搜索算法不需要一个源顶点。在深度优先搜索算法中,若图中顶点v未访问,则访问该顶点v。要访问顶点v,照如下步骤做

  1、标注v为被发现的(灰色)。

  2、对于v的所有未访问的邻点w,访问顶点w,标注v为已被探索的(黑色)

  深度优先搜索的步骤是递归的,这意味着深度优先搜索算法使用栈来存储函数调用(由递归调用所创建的栈)

  下面来实现一下深度优先算法:

this.dfs = function(callback){
  var color = initializeColor(); //{1}
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{2} 
    if (color[vertices[i]] === 'white'){ //{3}
      dfsVisit(vertices[i], color, callback); //{4}
    }
  }
};
var dfsVisit = function(u, color, callback){ 
  color[u] = 'grey'; //{5}
  if (callback) {    //{6}
    callback(u);
  }
  var neighbors = adjList.get(u);        //{7} 
  for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ //{8} 
    var w = neighbors[i];    //{9}
    if (color[w] === 'white'){    //{10}
      dfsVisit(w, color, callback);    //{11}
    }
  }
  color[u] = 'black'; //{12}
};

  首先,创建颜色数组(行{1}),并用值white为图中的每个顶点对其做初始化,广度优先搜索也这么做的。接着,对于图实例中每一个未被访问过的顶点(行{2}和{3}),调用私有的递归函数dfsVisit,传递的参数为顶点、颜色数组以及回调函数(行{4})

  当访问u顶点时,标注其为被发现的(grey——行{5})。如果有callback函数的话(行{6}),则执行该函数输出已访问过的顶点。接下来一步是取得包含顶点u所有邻点的列表(行{7})。对于顶点u的每一个未被访问过(颜色为white——行{10}和行{8})的邻点w(行{9}), 将调用dfsVisit函数,传递w和其他参数(行{11}——添加顶点w入栈,这样接下来就能访问它)。最后,在该顶点和邻点按深度访问之后,我们回退,意思是该顶点已被完全探索,并将其标注为black(行{12})

  执行下面的代码段来测试一下dfs方法:

graph.dfs(printNode);

  输出如下:

Visited vertex: A 
Visited vertex: B 
Visited vertex: E 
Visited vertex: I 
Visited vertex: F 
Visited vertex: C
Visited vertex: D 
Visited vertex: G 
Visited vertex: H

  这个顺序和示意图所展示的一致。下面这个示意图展示了该算法每一步的执行过程:

graph10

  行{4}只会被执行一次,因为所有其他的顶点都有路径到第一个调用dfsVisit函数的顶点(顶点A)。如果顶点B第一个调用函数,则行{4}将会为其他顶点再执行一次(比如顶点A)

  到目前为止,只是展示了深度优先搜索算法的工作原理。可以用该算法做更多的事情,而不只是输出被访问顶点的顺序

  对于给定的图G,希望深度优先搜索算法遍历图G的所有节点,构建“森林”(有根树的一个集合)以及一组源顶点(根),并输出两个数组:发现时间和完成探索时间。可以修改dfs方法来返回一些信息:

顶点u的发现时间d[u];
当顶点u被标注为黑色时,u的完成探索时间f[u];
顶点u的前溯点p[u]。

  来看看改进了的DFS方法的实现:

var time = 0; //{1} 
this.DFS = function(){
  var color = initializeColor(), //{2}
      d = [],
      f = [],
      p = [];
      time = 0;
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{3}
    f[vertices[i]] = 0;
    d[vertices[i]] = 0; 
    p[vertices[i]] = null;
  }
  for (i=0; i<vertices.length; i++){
    if (color[vertices[i]] === 'white'){ 
      DFSVisit(vertices[i], color, d, f, p);
    }
  }
  return {    //{4} 
    discovery: d, 
    finished: f, 
    predecessors: p
  };
};
var DFSVisit = function(u, color, d, f, p){ 
  console.log('discovered ' + u); 
  color[u] = 'grey';
  d[u] = ++time; //{5}
  var neighbors = adjList.get(u);
  for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ 
    var w = neighbors[i];
    if (color[w] === 'white'){
      p[w] = u;    // {6}
      DFSVisit(w,color, d, f, p);
    }
  }
  color[u] = 'black';
  f[u] = ++time;    //{7}
  console.log('explored ' + u);
};

  需要一个变量来要追踪发现时间和完成探索时间(行{1})。时间变量不能被作为参数传递,因为非对象的变量不能作为引用传递给其他JavaScript方法(将变量作为引用传递的意思是如果该变量在其他方法内部被修改,新值会在原始变量中反映出来)。接下来,声明数组d、f和p(行{2})。需要为图的每一个顶点来初始化这些数组(行{3})。在这个方法结尾处返回这些值(行{4}),之后要用到它们

  当一个顶点第一次被发现时,追踪其发现时间(行{5})。当它是由引自顶点u的边而被发现的,追踪它的前溯点(行{6})。最后,当这个顶点被完全探索后,追踪其完成时间(行{7})

  深度优先算法背后的思想是什么?边是从最近发现的顶点u处被向外探索的。只有连接到未发现的顶点的边被探索了。当u所有的边都被探索了,该算法回退到u被发现的地方去探索其他的边。这个过程持续到发现了所有从原始顶点能够触及的顶点。如果还留有任何其他未被发现的顶点,对新源顶点重复这个过程。重复该算法,直到图中所有的顶点都被探索了

  对于改进过的深度优先搜索,有两点需要注意

  1、时间(time)变量值的范围只可能在图顶点数量的一倍到两倍之间

  2、对于所有的顶点u,d[u]<f[u](意味着,发现时间的值比完成时间的值小,完成时间意思是所有顶点都已经被探索过了)

  在这两个假设下,有如下的规则:

1≤d[u]<f[u]≤2|V|

  如果对同一个图再跑一遍新的深度优先搜索方法,对图中每个顶点,会得到如下的发现

graph11

  给定下图,假定每个顶点都是一个需要去执行的任务:

graph12

  这是一个有向图,意味着任务的执行是有顺序的。例如,任务F不能在任务A之前执行。这个图没有环,意味着这是一个无环图。所以,可以说该图是一个有向无环图(DAG)

  当需要编排一些任务或步骤的执行顺序时,这称为拓扑排序(topologicalsorting,英文亦写作topsort或是toposort)。在日常生活中,这个问题在不同情形下都会出现。例如,开始学习一门计算机科学课程,在学习某些知识之前得按顺序完成一些知识储备(不可以在上算法I前先上算法II)。在开发一个项目时,需要按顺序执行一些步骤,例如,首先得从客户那里得到需求,接着开发客户要求的东西,最后交付项目。不能先交付项目再去收集需求

  拓扑排序只能应用于DAG。那么,如何使用深度优先搜索来实现拓扑排序呢?在前面的示意图上执行一下深度优先搜索

graph = new Graph();
myVertices = ['A','B','C','D','E','F'];
for(i=0;i<myVertices.length;i++){
  graph.addVertex(myVertices[i]);
}
graph.addEdge('A','C');
graph.addEdge('A','D');
graph.addEdge('B','D');
graph.addEdge('B','E');
graph.addEdge('C','F');
graph.addEdge('F','E');
var result = graph.DFS();

  这段代码将创建图,添加边,执行改进版本的深度优先搜索算法,并将结果保存到result变量。下图展示了深度优先搜索算法执行后,该图的发现和完成时间

graph13

  现在要做的仅仅是以倒序来排序完成时间数组,这便得出了该图的拓扑排序:

B - A - D - C - F - E

  注意之前的拓扑排序结果仅是多种可能性之一。如果稍微修改一下算法,就会有不同的结果,比如下面这个结果也是众多其他可能性中的一个:

A - B - C - D - F - E

  这也是一个可以接受的结果

【完整代码】

  Graph类的完整代码如下所示

function Graph() {

    var vertices = []; //list

    var adjList = new Dictionary();

    this.addVertex = function(v){
        vertices.push(v);
        adjList.set(v, []); //initialize adjacency list with array as well;
    };

    this.addEdge = function(v, w){
        adjList.get(v).push(w);
        //adjList.get(w).push(v); //commented to run the improved DFS with topological sorting
    };

    this.toString = function(){
        var s = '';
        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            s += vertices[i] + ' -> ';
            var neighbors = adjList.get(vertices[i]);
            for (var j=0; j<neighbors.length; j++){
                s += neighbors[j] + ' ';
            }
            s += '\n';
        }
        return s;
    };

    var initializeColor = function(){
        var color = {};
        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            color[vertices[i]] = 'white';
        }
        return color;
    };

    this.bfs = function(v, callback){

        var color = initializeColor(),
            queue = new Queue();
        queue.enqueue(v);

        while (!queue.isEmpty()){
            var u = queue.dequeue(),
                neighbors = adjList.get(u);
            color[u] = 'grey';
            for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
                var w = neighbors[i];
                if (color[w] === 'white'){
                    color[w] = 'grey';
                    queue.enqueue(w);
                }
            }
            color[u] = 'black';
            if (callback) {
                callback(u);
            }
        }
    };

    this.dfs = function(callback){

        var color = initializeColor();

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            if (color[vertices[i]] === 'white'){
                dfsVisit(vertices[i], color, callback);
            }
        }
    };

    var dfsVisit = function(u, color, callback){

        color[u] = 'grey';
        if (callback) {
            callback(u);
        }
        console.log('Discovered ' + u);
        var neighbors = adjList.get(u);
        for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
            var w = neighbors[i];
            if (color[w] === 'white'){
                dfsVisit(w, color, callback);
            }
        }
        color[u] = 'black';
        console.log('explored ' + u);
    };


    this.BFS = function(v){

        var color = initializeColor(),
            queue = new Queue(),
            d = {},
            pred = {};
        queue.enqueue(v);

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            d[vertices[i]] = 0;
            pred[vertices[i]] = null;
        }

        while (!queue.isEmpty()){
            var u = queue.dequeue(),
                neighbors = adjList.get(u);
            color[u] = 'grey';
            for (i=0; i<neighbors.length; i++){
                var w = neighbors[i];
                if (color[w] === 'white'){
                    color[w] = 'grey';
                    d[w] = d[u] + 1;
                    pred[w] = u;
                    queue.enqueue(w);
                }
            }
            color[u] = 'black';
        }

        return {
            distances: d,
            predecessors: pred
        };
    };

    var time = 0;
    this.DFS = function(){

        var color = initializeColor(),
            d = {},
            f = {},
            p = {};
        time = 0;

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            f[vertices[i]] = 0;
            d[vertices[i]] = 0;
            p[vertices[i]] = null;
        }

        for (i=0; i<vertices.length; i++){
            if (color[vertices[i]] === 'white'){
                DFSVisit(vertices[i], color, d, f, p);
            }
        }

        return {
            discovery: d,
            finished: f,
            predecessors: p
        };
    };

    var DFSVisit = function(u, color, d, f, p){

        console.log('discovered ' + u);
        color[u] = 'grey';
        d[u] = ++time;
        var neighbors = adjList.get(u);
        for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
            var w = neighbors[i];
            if (color[w] === 'white'){
                p[w] = u;
                DFSVisit(w,color, d, f, p);
            }
        }
        color[u] = 'black';
        f[u] = ++time;
        console.log('explored ' + u);
    };
}

 

最短路径算法

  设想要从街道地图上的A点,通过可能的最短路径到达B点。这种问题在生活中非常常见,会求助于百度地图等应用程序。当然,也有其他的考虑,如时间或路况,但根本的问题仍然是: 从A到B的最短路径是什么? 

  可以用图来解决这个问题,相应的算法被称为最短路径。下面将介绍两种非常著名的算法,即Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法

【Dijkstra算法】

  Dijkstra算法是一种计算从单个源到所有其他源的最短路径的贪心算法,这意味着可以用它来计算从图的一个顶点到其余各顶点的最短路径

  考虑下图:

graph14

 

  下面来看看如何找到顶点A和其余顶点之间的最短路径。但首先,需要声明表示上图的邻接矩阵,如下所示: 

var graph = [[0, 2, 4, 0, 0, 0],              
            [0, 0, 1, 4, 2, 0],              
            [0, 0, 0, 0, 3, 0],              
            [0, 0, 0, 0, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 3, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 0, 0, 0]]; 

  现在,通过下面的代码来看看Dijkstra算法是如何工作的: 

this.dijkstra = function(src) {   
  var dist = [], 
      visited = [],     
      length = this.graph.length; 
  for (var i = 0; i < length; i++) { //{1}     
    dist[i] = INF;     
    visited[i] = false;   
  }   
  dist[src] = 0; //{2} 
  for (var i = 0; i < length-1; i++) { //{3}     
    var u = minDistance(dist, visited); //{4} 
    visited[u] = true; //{5} 
    for (var v = 0; v < length; v++) {       
      if (!visited[v] &&  this.graph[u][v] != 0 && dist[u] != INF &&  dist[u] + this.graph[u][v] < dist[v]) { //{6}         dist[v] = dist[u] + this.graph[u][v]; //{7}       
      }     
    }   
  }   
  return dist; //{8} 
}; 

  下面是对算法过程的描述

  行{1}:首先,把所有的距离(dist)初始化为无限大(JavaScript最大的数INF = Number. MAX_SAFE_INTEGER),将visited[]初始化为false

  行{2}:然后,把源顶点到自己的距离设为0

  行{3}:接下来,要找出到其余顶点的最短路径

  行{4}:为此,需要从尚未处理的顶点中选出距离最近的顶点

  行{5}:把选出的顶点标为visited,以免重复计算

  行{6}:如果找到更短的路径,则更新最短路径的值(行{7})

  行{8}:处理完所有顶点后,返回从源顶点(src)到图中其他顶点最短路径的结果

  要计算顶点间的minDistance,就要搜索dist数组中的最小值,返回它在数组中的索引:

var minDistance = function(dist, visited) { 
  var min = INF, minIndex = -1; 
  for (var v = 0; v < dist.length; v++) { 
    if (visited[v] == false && dist[v] <= min) {
      min = dist[v]; 
      minIndex = v;     
    }   
  }
  return minIndex;
}; 

  对前面的图执行以上算法,会得到如下输出:

0    0
1    2
2    3
3    6
4    4
5    6

【Floyd-Warshall算法】

  Floyd-Warshall算法是一种计算图中所有最短路径的动态规划算法。通过该算法,可以找出从所有源到所有顶点的最短路径

  Floyd-Warshall算法实现如下:

this.floydWarshall = function() {   
  var dist = [],     
      length = this.graph.length,     
      i, j, k; 
  for (i = 0; i < length; i++) { //{1}     
    dist[i] = [];     
    for (j = 0; j < length; j++) {       
      dist[i][j] = this.graph[i][j];    
    }   
  } 
  for (k = 0; k < length; k++) { //{2}     
    for (i = 0; i < length; i++) {       
      for (j = 0; j < length; j++) {         
        if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) { //{3}           
          dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; //{4}         
        }       
      }     
    }   
  }   
  return dist; 
};

  下面是对算法过程的描述

  行{1}:首先,把dist数组初始化为每个顶点之间的权值,因为i到j可能的最短距离就是这些顶点间的权值

  行{2}:通过k,得到i途径顶点0至k,到达j的最短路径

  行{3}:判断i经过顶点k到达j的路径是否比已有的最短路径更短

  行{4}:如果是更短的路径,则更新最短路径的值

  行{3}是Floyd-Warshall算法的核心。对前面的图执行以上算法,会得到如下输出:

0   2   3   6   4   6 
INF 0   1   4   2   4 
INF INF 0   6   3   5 
INF INF INF 0   INF 2 
INF INF INF 3   0   2 
INF INF INF INF INF 0 

  其中,INF代表顶点i到j的最短路径不存在。 对图中每一个顶点执行Dijkstra算法,也可以得到相同的结果

 

最小生成树

  最小生成树(MST)问题是网络设计中常见的问题。想象一下,公司有几间办公室,要以最低的成本实现办公室电话线路相互连通,以节省资金,最好的办法是什么?这也可以应用于岛桥问题。设想要在n个岛屿之间建造桥梁,想用最低的成本实现所有岛屿相互连通

  这两个问题都可以用MST算法来解决,其中的办公室或者岛屿可以表示为图中的一个顶点,边代表成本。下面有一个图的例子,其中较粗的边是一个MST的解决方案

graph15

  下面将介绍两种主要的求最小生成树的算法:Prim算法和Kruskal算法

【Prim算法】

  Prim算法是一种求解加权无向连通图的MST问题的贪心算法。它能找出一个边的子集,使得其构成的树包含图中所有顶点,且边的权值之和最小

  现在,通过下面的代码来看看Prim算法是如何工作的:

this.prim = function() {
    var parent = [],
        key = [],
        visited = [],
        length = this.graph.length,
        i;

    for (i = 0; i < length; i++){
        key[i] = INF;
        visited[i] = false;
    }

    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    for (i = 0; i < length-1; i++) {
        var u = minKey(key, visited);
        visited[u] = true;

        for (var v = 0; v < length; v++){
            if (this.graph[u][v] && visited[v] == false && this.graph[u][v] <  key[v]){
                parent[v]  = u;
                key[v] = this.graph[u][v];
            }
        }
    }

    return parent;
};

  下面是对算法过程的描述

  行{1}:首先,把所有顶点(key)初始化为无限大(JavaScript最大的数INF = Number.MAX_ SAFE_INTEGER),visited[]初始化为false

  行{2}:其次,选择第一个key作为第一个顶点,同时,因为第一个顶点总是MST的根节点,所以parent[0] = -1

  行{3}:然后,对所有顶点求MST

  行{4}:从未处理的顶点集合中选出key值最小的顶点(与Dijkstra算法中使用的函数一样, 只是名字不同)

  行{5}:把选出的顶点标为visited,以免重复计算

  行{6}:如果得到更小的权值,则保存MST路径(parent,行{7})并更新其权值(行 {8})

  行{9}:处理完所有顶点后,返回包含MST的结果

  比较Prim算法和Dijkstra算法,会发现除了行{7}和行{8}之外,两者非常相似。行{7}用parent数组保存MST的结果。行{8}用key数组保存权值最小的边,而在Dijkstra算法中,用dist数组保存距离。可以修改Dijkstra算法,加入parent数组。这样,就可以在求出距离的同时得到路径

  对如下的图执行以上算法:

var graph = [[0, 2, 4, 0, 0, 0],              
            [2, 0, 2, 4, 2, 0],              
            [4, 2, 0, 0, 3, 0],              
            [0, 4, 0, 0, 3, 2],              
            [0, 2, 3, 3, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 2, 2, 0]]; 

  会得到如下输出:

Edge    Weight 
0 - 1   2 
1 - 2   2 
5 - 3   2 
1 - 4   2 
4 - 5   2 

【Kruskal算法】

  和Prim算法类似,Kruskal算法也是一种求加权无向连通图的MST的贪心算法。现在,通过下面的代码来看看Kruskal算法是如何工作的: 

this.kruskal = function(){

    var length = this.graph.length,
        parent = [], cost,
        ne = 0, a, b, u, v, i, j, min;

    cost = initializeCost();

    while(ne<length-1) {

        for(i=0, min = INF;i < length; i++) {
            for(j=0;j < length; j++) {
                if(cost[i][j] < min) {
                    min=cost[i][j];
                    a = u = i;
                    b = v = j;
                }
            }
        }

        u = find(u, parent);
        v = find(v, parent);

        if (union(u, v, parent)){
            ne++;
        }

        cost[a][b] = cost[b][a] = INF;
    }

    return parent;
}

  下面是对算法过程的描述

  行{1}:首先,把邻接矩阵的值复制到cost数组,以方便修改且可以保留原始值行{7}

  行{2}:当MST的边数小于顶点总数减1时

  行{3}:找出权值最小的边

  行{4}和行{5}:检查MST中是否已存在这条边,以避免环路

  行{6}:如果u和v是不同的边,则将其加入MST

  行{7}:从列表中移除这些边,以免重复计算

  行{8}:返回MST

  下面是find函数的定义。它能防止MST出现环路:

var find = function(i, parent){
    while(parent[i]){
        i = parent[i];
    }
    return i;
};

  union函数的定义如下: 

var union = function(i, j, parent){
    if(i != j) {
        parent[j] = i;
        return true;
    }
    return false;
};

  这个算法有几种变体。这取决于对边的权值排序时所使用的数据结构(如优先队列),以及图是如何表示的

 

posted @ 2018-01-04 08:05 小火柴的蓝色理想 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏