[BZOJ1101][POI2007]Zap 莫比乌斯反演

1101: [POI2007]Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a
，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（
6,3），（3,3）。

HINT

 

Source

 

 

要求gcd(x,y)=d只要求 ∑(1≤x≤a/d)∑(1≤y≤b/d)[gcd(x,y)=1]

由于莫比乌斯函数性质∑(k|n)µ(k)只有当n等于1时函数值为1，其余函数值为0。

所以可以转换为求∑(1≤x≤a/d)∑(1≤y≤b/d)∑(k|gcd(x,y))µ(k)

把k提到第一位枚举后可化为∑(1≤k≤min(a/d,b/d))∑(k|x)∑(k|y) µ(k)

合并后两位可化为 ∑(1≤k≤min(a/d,b/d)) µ(k)*(a/d/k)*(b/d/k)

按(a/d/k)*(b/d/k)分组即可o(√n) 查询

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 50005
#define LL long long
using namespace std;
bool vis[maxn];
int prime[maxn],cnt,u[maxn],sum[maxn];
void init() {
    u[1]=sum[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,u[i]=-1; 
        for(int j=1;i*prime[j]<maxn&&j<=cnt;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {u[i*prime[j]]=0;break;}
            u[i*prime[j]]=-u[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+u[i];
    }
    return ;
}
int a,b,c,d,k,t;
LL f(int n,int m,int k) {
    LL ans=0;
    n/=k;m/=k;
    for(int i=1,lst;i<=min(n,m);i=lst+1) {
        lst=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(LL)(n/i)*(m/i)*(sum[lst]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}
int main() {
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
        printf("%lld\n",f(a,b,k));
    }
}