搜索与回溯算法（三）
本节学习要点：
1、 深度优先搜索的基本思想是什么？
2、 深度优选搜索的基本框架（用回溯递归实现）
3、 深度优先搜索算法要点
4、 搜索与回溯练习题二部分试题讲解。
搜索是人工智能中的一种基本方法，也是信息学竞赛选手所必须熟练掌握的一种方法，它最适合于设计基于一组生成规则集的问题求解任务，每个新的状态的生成均可使问题求解更接近于目标状态，搜索路径将由实际选用的生成规则的序列构成。我们在建立一个搜索算法的时候．首要的问题不外乎两个：以什么作为状态?这些状态之间又有什么样的关系?其实．在这样的思考过程中．我们已经不知不觉地将一个具体的问题抽象成了一个图论的模型——树(如图7-l所示)。
状态对应着顶点．状态之间的关系(或者说从一个状态到另一个状态的形成过程即生成规则)对应着边。这样的一棵树就叫做搜索树。初始状态对应着根结点，目标状态对应着目标结点。我们的任务就是找到一条从根结点到目标结点的路径——一个成功的解。搜索算法的实现类似于图或树的遍历，通常可以有两种不同的实现方法：深度优先搜索(DFS——Depth First Search)和宽度优先搜索(BFS——Breadth First Search)．
1、深度优先搜索的基本思想：
如算法名称那样，深度优先搜索所遵循的搜索策略是尽可能“深”地搜索树。在深度优先搜索中，对于当前发现的结点，如果它还存在以此结点为起点而未探测到的边，就沿此边继续搜索下去，若当结点的所有边都己被探寻过．将回溯到当前结点的父结点，继续上述的搜索过程直到所有结点都被探寻为止。
深度优先搜索在树的遍历中也称作树的先序遍历。对于树而言，深度优先搜索的思路可以描述为：
(1)将根结点置为出发结点。
(2)访问该出发结点．
(3)依次将出发结点的子结点置为新的出发结点．进行深度优先遍历(执行(2))。
(4)退回上一层的出发结点。
2、深度优先搜索的基本框架：（回溯递归实现）
1 Procedure DFS(step) 2 Begin 3 for i:=1 to max do //枚举可扩展的子结点 4 if 子结点i符合扩展条件 then begin 5 记录扩展的状态i； 6 if 子结点是目标结点 then 输出 7 else DFS(step+1)； 8 删除扩展的状态i； 9 end； 10 end；
1 Procedure DFS(step); 2 begin 3 if 子结点是目标结点 then begin 输出;exit;end; 4 for i:=1 to max do //枚举可扩展的子结点，也就是搜索宽度 5 if 子结点i符合扩展条件 then begin 6 记录扩展的状态i； 7 DFS(step+1)； 8 删除扩展的状态i 9 end; 10 end;
3、深度优先搜索算法要点：
我们在应用深度优先搜索算法解题时．一般应考虑如下几个重要因素：
（1）．选择合适角度定义结点状态
选择合适的角度来定义结点状态，是设计搜索算法重要的一步，往往搜索算法可以从不同角度进行搜索，哪个角度更容易描述结点状态（结点定义），哪个角度搜索的层次更明确（搜索深度），哪个角度状态间的转换关系更容易实现（产生式），哪个角度可以搜索的效率更高（剪枝）等等，这是我们选择合适角度定义状态需要综合考虑的问题。
（2）．产生式
所谓产生式，即从当前结点状态变换到下一结点状态的关系式。每个结点产生新结点的个数实际上就是该结点的搜索宽度。有的产生式很简单很直接，例如全排列问题，直接穷举可选的数就行了，有的产生式需要稍加变换，例如，在骑士巡游问题中马有8种跳法，每一个结点就可以最多扩展出8个新结点，每个新结点都是由原来结点坐标加上一个增量得到的，所以可以用for语句枚举8个方向的坐标增量就可以了。产生式的好坏，也可以直接影响程序的效率。
（3）．扩展条件
即满足什么条件结点才可以向下扩展产生新结点，也就是说满足什么条件才可以继续向下搜索。这个扩展条件往往是约束搜索树规模的重要一环，很多搜索问题的优化都在这一环节进行剪枝。
（4）. 目标状态
确定正确的目标状态，即满足什么条件输出方案。
一种情况是要搜索出所有目标结点或任意一个目标结点，一种是要搜索出最优的目标结点，如果需要输出具体方案，还要使用数组记录下来每一步的搜索过程。
（5）. 状态的保存和恢复
如果扩展子结点的过程需要用全局变量或变量形参保存结点状态，则子程序返回调用处后必须恢复其值。
4、应用举例
例1、找零钱（money.pas）
问题描述：
有2n个人排队购一件价为0.5元的商品，其中一半人拿一张1元人民币，另一半人拿一张0.5元的人民币，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，问这2n个人应该如何排队？找出所有排队的方案。（售货员一开始就没有准备零钱）
输入：
输入文件money.in仅一个数据n
输出：
输出文件money.out若干行，每行一种排队方案，每种方案前加序号No.i，每种方案0表示持0.5元钞票的人，1表示持1元钞票的人
样例：
money.in
3
money.out
NO.1:000111
No.2:001011
No.3:001101
No.4:010011
No.5:010101
问题分析：
1、 结点状态定义：用一维数组b[k]记录排队状态，b[k]=0表示拿0.5元的，b[k]=1表示拿1元的，每一步的结点状态转换到下一状态，直接转换即可，即b[k]=i(i=0或1)。另外用数组d记录当前状态下0的个数d[0]和1的个数d[1]
2、 搜索宽度：因为每个人手中的钞票不是0.5元就是1元，只有两种情况，所以搜索宽度为2
3、 子结点扩展条件：当前结点向下扩展，需满足的条件是，前面所有人手持的0.5元的个数要大于等于1元的个数，并且0.5元的个数要小于等于n
4、 目标结点状态：前k个人已经排好队，即k>2*n，并且d[0]=d[1]
5、 恢复递归前的状态：由于使用了全局变量数组d，当在递归前改变d[i]的值时，即inc(d[i])，递归后要恢复d[i]的值，即dec(d[i])。
1 program money; 2 const max=20; 3 var 4 b:array[1..2*max] of 0..1; 5 d:array[0..1] of integer; 6 total,n:integer; 7 procedure print; 8 var i:integer; 9 begin 10 inc(total); 11 write('No.',total,':'); 12 for i:=1 to 2*n do 13 write(b[i]:2); 14 writeln; 15 end; 16 procedure dfs(k:integer); 17 var i:integer; 18 begin 19 if (d[0]=d[1]) and (k>2*n) then begin print;exit;end; 20 for i:=0 to 1 do 21 if (d[0]>=d[1]) and (d[0]<=n) then 22 begin 23 b[k]:=i; 24 inc(d[i]); 25 dfs(k+1); 26 dec(d[i]); 27 end; 28 end; 29 begin 30 readln(n); 31 total:=0; d[0]:=0; d[1]:=0; 32 dfs(1); 33 end.
例2、最小拉丁方阵
提交文件名：LATIN.PAS
问题描述：
输入 N，求 N 阶最小的拉丁方阵 (2 ≤ N ≤ 9)。N 阶拉丁方阵为每一行、每一列都是数字1到N，且每个数字只出现一次。最小拉丁方阵是将方阵的一行一行数连接在一起，组成为一个数，则这个数是最小的。
输入输出示例：
N = 3
1 2 3
2 3 1
3 1 2
N = 5
1 2 3 4 5
2 1 4 5 3
3 4 5 1 2
4 5 2 3 1
5 3 1 2 4
问题分析：
枚举每一个格子可能放的数，搜索深度为n*n，搜索宽度为n，设置两个二维的布尔数组b[i,j]和c[i,j]，记录行和列中出现过的数字，b[i,j]=true表示第i行的数j可以使用，c[i,j]=true表示第i列的数j可以使用。用数组a[i，j]记录结果，由于采用了二维数组记录结果，所以在枚举n*n个格子的时候需要把一维数组转成二维。
1 var 2 a : array[1..9,1..9] of byte; 3 b,c : array[1..9,1..9] of boolean; 4 n : integer; 5 6 procedure printout; 7 var 8 i,j : integer; 9 begin 10 for i := 1 to n do begin 11 for j := 1 to n do write(a[i,j]:3); 12 writeln; 13 end; 14 readln; 15 halt; 16 end; 17 18 procedure solve(s,y,x : byte); 19 var 20 i : integer; 21 begin 22 if s > n*n 23 then printout 24 else for i := 1 to n do 25 if b[y,i] and c[x,i] then begin 26 a[y,x] := i; b[y,i] := false; c[x,i] := false; 27 if s mod n = 0 28 then solve(s+1,y+1,1) 29 else solve(s+1,y,x+1); 30 b[y,i] := true; c[x,i] := true; 31 end; 32 end; 33 34 begin 35 repeat 36 write(' Input N : '); 37 readln(n); 38 until n in [1..9]; 39 fillchar(b,sizeof(b),true); 40 fillchar(c,sizeof(c),true); 41 solve(1,1,1); 42 end.
例3、电子老鼠闯迷宫
图中有阴影的部分表示墙，无阴影的部分表示通路。老鼠在迷宫中可以沿上下左右4个方向摸索前进。如下图12×12方格图，找出一条自入口（2，9）到出口（11，8）的最短路径。
问题分析：
1．结点定义：以方格为结点，根结点为入口方格，从根结点出发，可向四个方向行走，进入下一状态（即下一格）。
2．目标状态：方格坐标（x,y）=出口坐标（11，8）
3．搜索范围：上下左右四个方向存到数组d中依次去搜索。
4．约束条件：设数组map[x，y]表示地图，则map[x,y]=1表示墙，map[x,y]=0表示路，若当前方格坐标为x,y，则约束条件为map[x+d[i].x,y+d[i].y]=0。另外我们把访问过的格子置为非0，防止老鼠原地打转。
5．恢复递归前状态：设step记录步数，即每走一格step加1，所以回溯到递归前状态时要将step减1，也可以把step定义到过程的形式参数中（注意在形式参数中它相当于一个局部变量），每次回溯后自动恢复原值。另外还需要把递归前所在的格子恢复为0。
6．将每次探寻得到的路径步数step进行筛选，留下最小的一个min。
7．可以定义过程try(x,y,step:integer;),其中x,y表示要扩展访问的方格，step来记录步数
1 program mouse; 2 const 3 dx:array[1..4] of integer=(-1,0,0,1); 4 dy:array[1..4] of integer=(0,-1,1,0); 5 map:array[1..12,1..12] of integer=((1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1), 6 (1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,1),(1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1), 7 (1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1),(1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1), 8 (1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1),(1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1), 9 (1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1),(1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,1), 10 (1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)); 11 type zb=record 12 x,y:integer; 13 end; 14 var 15 i,j,min:integer; 16 lu,minlu:array[1..150] of zb; 17 procedure try(x,y,step:integer); 18 var i,j:integer; 19 begin 20 for i:=1 to 4 do 21 if (map[x+dx[i],y+dy[i]]=0) then 22 begin 23 map[x+dx[i],y+dy[i]]:=1; 24 lu[step].x:=x+dx[i]; 25 lu[step].y:=y+dy[i]; 26 if (x+dx[i]=11) and (y+dy[i]=8) then 27 begin if step<min then begin min:=step;minlu:=lu;end;end 28 else 29 try(x+dx[i],y+dy[i],step+1); 30 map[x+dx[i],y+dy[i]]:=0; 31 end; 32 end; 33 begin 34 min:=maxint; 35 map[2,9]:=3; 36 try(2,9,1); 37 writeln(min); 38 write('(2,9)'); 39 for i:=1 to min do 40 begin 41 write('(',minlu[i].x,',',minlu[i].y,')'); 42 map[minlu[i].x,minlu[i].y]:=3; 43 end; 44 writeln; 45 for i:=1 to 12 do 46 begin 47 for j:=1 to 12 do 48 begin 49 if map[i,j]=1 then write(char(219)); 50 if map[i,j]=0 then write(' '); 51 if map[i,j]=3 then write('*'); 52 end; 53 writeln; 54 end; 55 end.
