趣味编程:三门问题

三门问题,也称为蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem)。

你在参加一个节目,面前是三扇关闭着的门。其中一扇后面是小汽车,选中它就可赢得汽车,另外两扇后面各是一只羊。你选择了其中一扇,但没有打开它,这时主持人打开了剩下两扇门中的一扇,后面是一只山羊(这里有个隐含前提:主持人是知道门后的情况的)。主持人问你,要不要换另一扇仍然关闭着的门,还是就要你刚才选中的那扇。

那么问题就是,换另一扇门会增加你赢得汽车的概率么?换与不换的概率各是多少呢?

三门

因为只剩下了两扇门,其中有一车和一羊,因此答案是换不换概率都是1/2,对么?

也有人坚信不换的概率是1/3,那么换的概率就应该是2/3?无论哪种回答,一定都会有自己的解释和逻辑。

 

什么是概率?无非就是某种事件发生的可能性。

如何验证概率?只有用大量的实验来统计各种事件发生的分布情况。

放到现实中,想看到这个问题的答案,只能由主持人和观众不断的重复进行游戏。

看看比如说各自100次游戏,不换门会选中多少次,换门又会选中多少次。

 

这就体现出了代码的优势,无需舞台无需观众无需主持人,也无需一遍又一遍的重复。

让我们直接抛开语义和逻辑上的争论,让事实来说话。

 

完全忠实于游戏的规则来实现:

 1 import random
 2 import logging
 3 
 4 class MontyHall(object):
 5     def __init__(self, num=3):
 6         '''
 7         创建一个door列表
 8         0表示门关闭的状态
 9         1表示该门后有车
10         -1表示该门被主持人打开
11         '''
12         self.doors = [0] * num
13         self.doors[0] = 1
14         self.choice = -1
15         self.shuffle()
16 
17     def shuffle(self):
18         '''
19         开始新的游戏
20         关闭所有打开的门(-1)
21         重新安排轿车的位置
22         '''
23         for i in range(len(self.doors)):
24             if self.doors[i] == -1:
25                 self.doors[i] = 0
26         random.shuffle(self.doors)
27 
28     def makeChoice(self):
29         '''
30         player随机选择一扇门
31         '''
32         self.choice = random.randint(0, len(self.doors)-1)
33         logging.info('choice: %d' % self.choice)
34         logging.info('original: %s' % self.doors)
35 
36     def excludeChoice(self):
37         '''
38         主持人排除选择
39         直到只剩两扇门
40         '''
41         toBeExcluded = []
42         for i in range(len(self.doors)):
43             if self.doors[i] == 0 and i != self.choice:
44                 toBeExcluded.append(i)
45 
46         random.shuffle(toBeExcluded)
47         for i in range(len(self.doors)-2):
48             self.doors[toBeExcluded[i]] = -1
49         logging.info('final: %s' % self.doors)
50 
51     def changeChoice(self):
52         '''
53         player改变选择
54         '''
55         toChange = []
56         for i in range(len(self.doors)):
57             if i != self.choice and self.doors[i] != -1:
58                 toChange.append(i)
59         self.choice = random.choice(toChange)                
60         logging.info('choice changed: %d' % self.choice)
61 
62     def showAnswer(self):
63         logging.info(self.doors)
64 
65     def checkResult(self):
66         gotIt = False
67         if self.doors[self.choice] == 1:
68             gotIt = True
69         return gotIt

 

不改变选择:

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall()
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9 
10         if game.checkResult():
11             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
12         else:
13             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
14 
15     for key in result:
16         print('%s: %d' % (key, result[key]))
17     
18 
19 
20 if __name__ == '__main__':
21     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
22     test(10000)
View Code
yes: 3304
no: 6696

 

改变选择:

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(3)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         # 改变选择
10         game.changeChoice()
11 
12         if game.checkResult():
13             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
14         else:
15             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
16 
17     for key in result:
18         print('%s: %d' % (key, result[key]))
19     
20 
21 
22 if __name__ == '__main__':
23     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
24     test(10000)
View Code
yes: 6691
no: 3309

 

可见,如果不改变,选中的概率是1/3。如果改变,选中概率为2/3。所以说,最佳策略是换门。

 

从逻辑上如何解释呢?

如果你每次都换,只有当你第一次选的那扇门后是汽车时,你才会输。

因为第一次选中汽车的概率是1/3,所以换门后输的概率是1/3。

也就是说,如果你每次都换,赢的概率就有2/3。

 

还不信么?

那我们换成50扇门再做这个游戏。你选一扇门,我把其他是羊的48扇门打开给你,最后依然剩下两扇门,你还会觉得换和不换的概率一样是1/2么?

依然觉得在50扇门中任选一个,最后中将的概率是1/2?

 

五十门

 

原理是一样的,只有你第一次就选中汽车时(1/50概率),换门才会失去大奖。其他的情况,换门都会让你赢得大奖,概率为49/50。

再次用代码来验证:

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(50)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         game.changeChoice()
10 
11         if game.checkResult():
12             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
13         else:
14             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
15 
16     for key in result:
17         print('%s: %d' % (key, result[key]))
18     
19 
20 
21 if __name__ == '__main__':
22     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
23     test(10000)
View Code
yes: 9794
no: 206

 

依然不相信?

逻辑分析和事实数据都不能让你相信?还是认为最后的概率都是1/2?

那我只好遗憾的表示,三门问题的答案是确定的,不存在任何争议。

自己去科普一下吧,不要困在自己的局限的认知里。

 

附上一个科普节目,让大名鼎鼎的流言终结者(S09E21)来扫盲吧。

 

如果逻辑分析+实验事实+科普节目都无法让你放弃1/2的结论,那我真无能为力了:)

posted @ 2013-11-24 20:28 CaliforniaDream 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏