动态规划-多重背包问题

0-1背包问题

完全背包问题

多重背包问题是0-1背包问题和完全背包问题的综合体，可以描述如下：从n种物品向容积为V的背包装入，其中每种物品的体积为w，价值为v，数量为k，问装入的最大价值总和？

我们知道0-1背包问题是背包问题的基础，所以在解决多重背包问题的时候，要将多重背包向0-1背包上进行转换。在多重背包问题中，每种物品有k个，可以将每种物品看作k种，这样就可以使用0-1背包的算法。但是，这样会增加数据的规模。因为该算法的时间复杂度为O(V*∑ⁿⁱ₌₁ki)，所以要降低每种物品的数量ki。

九度教程上给出了一种方法，将原数量为k的物品拆分成若干组，每一组可看成一件新的物品，其价值和重量为改组中所有物品的价值重量的总和，每组物品包含的原物品个数分别为：1、2、4...k-2^c+1，其中c为使k-2^c+1大于0的最大整数。这样就将物品数量大大降低，同时通过对这些若干个原物品组合得到的新物品的不同组合，可以得到0到k之间的任意件物品的价值重量和，所以对所有这些新物品做0-1背包，即可得到多重背包的解。转化之后的时间复杂度为O(V*∑ⁿⁱ₌₁log2(ki))。

九度教程上的一道例题-珍惜现在，感恩生活

题目描述：
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？
输入：
输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。
输出：
对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。
样例输入：
1
8 2
2 100 4
4 100 2
样例输出：
400

编码实现：

#include <stdio.h>
struct Rice{
    int price;
    int weight;
}rice[2001];
 
int max(int a, int b)
{
    return a > b ? a : b;
}
 
int dp_Rice[101];
 
int main()
{
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    while (nCase--)
    {
        int sumMoney, speRice;
        scanf("%d%d", &sumMoney, &speRice);
        int index = 0;
        int pr, wei, num;
        for (int i = 1; i <= speRice; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &pr, &wei, &num);
            int k = 1;
            while (num - k>0)
            {
                num -= k;
                rice[++index].price = pr*k;
                rice[index].weight = wei*k;
                k *= 2;
            }
            rice[++index].weight = wei*num;
            rice[index].price = pr*num;
        }
 
        for (int j = 0; j <= sumMoney; j++)
            dp_Rice[j] = 0;
        for (int i = 1; i <= index;i++)
        for (int j = sumMoney; j >= rice[i].price; j--)
            dp_Rice[j] = max(dp_Rice[j],dp_Rice[j-rice[i].price]+rice[i].weight);
 
        printf("%d\n",dp_Rice[sumMoney]);
    }
    return 0;
 
}
/**************************************************************
    Problem: 1455
    User: 凌月明心
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:10 ms
    Memory:1036 kb
****************************************************************/