算法导论读书笔记（18）
最长公共子序列
某给定序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉后得到的结果。其形式化定义如下：给定一个序列 X = < x1 , x2 , … , xm >，另一个序列 Z = < z1 , z2 , … , zk >，如果 Z 满足如下条件则称 Z 为 X 的 子序列 （subsequence），即存在一个严格递增的 X 的下标序列 < i1 , i2 , … , ik >，对所有 j = 1，2，…， k ，满足 xij = zj 。给定两个序列 X 和 Y ，如果 Z 既是 X 的子序列，也是 Y 的子序列，则称它是 X 和 Y 的 公共子序列 。
最长公共子序列问题 （longest-common-subsequence problem）就是给定两个序列 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >，求 X 和 Y 长度最长的公共子序列。简称LCS问题。下面将展示如何用动态规划方法高效求解LCS问题。
步骤1：描述最长公共子序列的特征
LCS问题符合最优子结构的性质。可以看到，子问题的自然分类对应两个输入序列的“前缀”对。前缀的严格定义如下：给定一个序列 X = < x1 , x2 , … , xm >，对 i = 0，1，…， m ，定义 X 的第 i 前缀为 Xi = < x1 , x2 , … , xi >， X0 为空串。
定理 （LCS的最优子结构）
令 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >为两个序列， Z = < z1 , z2 , … , zk >为 X 和 Y 的任意LCS。
1. 如果 xm = yn ，则 zk = xm = yn 且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的一个LCS。
2. 如果 xm ≠ yn ，那么 zk ≠ xm 意味着 Z 是 Xm-1 和 Y 的一个LCS。
3. 如果 xm ≠ yn ，那么 zk ≠ yn 意味着 Z 是 X 和 Yn-1 的一个LCS。
上面的定理说明两个序列的LCS包含两个序列的前缀的LCS。因此，LCS问题满足最优子结构性质。
步骤2：一个递归解
由定理可知，在求 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >的一个LCS时，我们需要求解一个或两个子问题。如果 xm = yn ，我们应该求解 Xm-1 和 Yn-1 的一个LCS。然后将 xm = yn 追加到这个LCS的末尾，就得到 X 和 Y 的一个LCS。如果 xm ≠ yn ，我们必须求解两个子问题：求 Xm-1 和 Y 的一个LCS与 X 和 Yn-1 的一个LCS。两个LCS中长的那个即为 X 和 Y 的一个LCS。
可以很容易看出LCS中的重叠子问题。为了求 X 和 Y 的一个LCS，我们可能需要求 X 和 Yn-1 的一个LCS以及 Xm-1 和 Y 的一个LCS。这几个子问题都包含求解 Xm-1 和 Yn-1 的LCS的子子问题。
设计LCS问题的递归算法还要建立最优解的递归式。令 c [ i , j ]表示 Xi 和 Yj 的LCS的长度。如果 i = 0或 j = 0，即一个序列长度为0，那么LCS的长度为0。根据LCS问题的最优子结构性质，可知：
步骤3：计算LCS的长度
过程 LCS-LENGTH 接受两个序列 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >为输入。它将 c [ i , j ]的值保存在表 c [ 0 .. m , 0 .. n ]，并按 行主次序 （row-major order）计算表项（即首先由左至右计算 c 的第一行，然后第二行，依此类推）。过程还维护一个表 b [ 1 .. m , 1 .. n ]帮助构造最优解。 b [ i , j ]指向的表项对应计算 c [ i , j ]时所选择的子问题的最优解。过程返回表 b 和表 c ， c [ m , n ]保存了 X 和 Y 的LCS的长度。
LCS-LENGTH(X, Y) 1 m = X.length 2 n = Y.length 3 let b[1..m, 1..n] and c[0..m, 0..n] be new tables 4 for i = 1 to n 5 c[i, 0] = 0 6 for j = 0 to n 7 c[0, j] = 0 8 for i = 1 to m 9 for j = 1 to n 10 if x_i == y_j 11 c[i, j] = c[i - 1, j - 1] + 1 12 b[i, j] = "↖" 13 elseif c[i - 1, j] >= c[i, j - 1] 14 c[i, j] = c[i - 1, j] 15 b[i, j] = "↑" 16 else 17 c[i, j] = c[i, j - 1] 18 b[i, j] = "←" 19 return c and b
下图显示了 LCS-LENGTH 对输入序列 X = < A , B , C , B , D , A , B >和 Y = < B , D , C , A , B , A >生成的结果。过程的运行时间为 Θ ( mn )，因为每个表项的计算时间为 Θ ( 1 )。
步骤4：构造LCS
现在可以用 LCS-LENGTH 返回的表 b 快速构造 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >的LCS。
PRINT-LCS(b, X, i, j) 1 if i == 0 or j == 0 2 return 3 if b[i, j] == "↖" 4 PRINT-LCS(b, X, i - 1, j - 1) 5 print x_i 6 elseif b[i, j] == "↑" 7 PRINT-LCS(b, X, i - 1, j) 8 else 9 PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)
LCS问题的简单Java实现
参考自http://www.cs.cityu.edu.hk/~lwang/cs5302/LCS.java
private static int[][] lcsLength(String x, String y) { int m = x.length(); int n = y.length(); int[][] b = new int[m + 1][n + 1]; int[][] c = new int[m + 1][n + 1]; for (int i = 0; i < n; i++) c[i][0] = 0; for (int j = 0; j < m; j++) c[0][j] = 0; for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) { c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; b[i][j] = DIAGONAL; } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) { c[i][j] = c[i - 1][j]; b[i][j] = UP; } else { c[i][j] = c[i][j - 1]; b[i][j] = FORWARD; } } } return b; } public static String getLCS(String x, String y) { int[][] b = lcsLength(x, y); String lcs = ""; int i = x.length(); int j = y.length(); while (i != 0 && j != 0) { if (b[i][j] == DIAGONAL) { lcs = x.charAt(i - 1) + lcs; i = i - 1; j = j - 1; } if (b[i][j] == UP) { i = i - 1; } if (b[i][j] == FORWARD) { j = j - 1; } } return lcs; } private static final int DIAGONAL = 1; private static final int UP = 2; private static final int FORWARD = 3;
