f(f(x)) = -x

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原题说的自变量是一个 32 比特的有符号整数，这里扩展之，对不同的定义值和值域进行讨论。

设计一个函数 f，使得

f(f(x)) = -x

这里 f(x) 的定义值和值域都是集合 A。

(1)

如果 A 是复数集 C，则令 f(x) = i * x 即可，其中 i 是虚数单位，满足 i * i = -1。

(2)

如果 A 是整数集 Z，则令

f(x) =  0，    当 x = 0，
f(x) =  1 + x，当 x > 0 且为奇数，
f(x) =  1 - x，当 x > 0 且为偶数，
f(x) = -1 + x，当 x < 0 且为奇数，
f(x) = -1 - x，当 x < 0 且为偶数，

易知 f(x) 满足要求。

(3)

如果 A 是除 ±1 以外的实数，即 A = (-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，令

f(x) =  0，    当 x = 0，
f(x) =  1 / x，当 x∈(-1,0)∪(0,1)，
f(x) = -1 / x，当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，

则 f(x) 满足要求。

(4)

如果 A 是实数集 R 或有理数集 Q，则又如何？