算法导论16.2-2 0-1背包问题

CLRS 16.2-2 请给出一个解决0-1背包问题的运行时间为O(nW)的动态规划方法，其中，n为物品的件数，W为窃贼可放入他的背包中的物品中的最大重量。

我们有n种物品，物品j的重量为w_j，价格为p_j。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。可以用公式表示为：

maximize    

subject to    

方法一：
采用最原始的递归方法，公式为
V(1,...,n) = max(v_k + V(1,...,k-1,k+1,...,n));时间复杂度为O(2ⁿ)，很多子问题被重复计算。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//每件物品的价值和重量
typedef struct goods_t
{
  int weight;
  int value;
}goods;

//删除第i个元素后的所有元素
goods* remain_data(goods* data, const int n, const int i)
{
  goods* remain = (goods*)malloc((n-1)*sizeof(goods));
  int j;
  int count = 0;
  for (j = 0; j < n; j++)
  {
    if (j != i)
      remain[count++] = data[j];
  }
  return remain;
}

//递归
int recursive(goods* data, const int n, int weight)
{
  int max = 0;
  int i;
  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    if (data[i].weight <= weight)
    {
      int tmp = data[i].value + recursive(remain_data(data, n, i), n - 1, weight - data[i].weight);
      if (tmp > max)
    max = tmp;
    }
  }
  return max;
}

int main()
{
  //输入最大重量
  int max_weight;
  scanf("%d", &max_weight);
  //输入物品件数及其重量和价值
  int num;
  scanf("%d", &num);
  int n = num;
  goods* data = (goods*)malloc(n*sizeof(goods));

  goods g;
  while (num--)
  {
    scanf("%d%d", &(g.weight), &(g.value));
    data[n-num-1] = g;
  }
  printf("%d\n", recursive(data, n, max_weight));
  return 0;
}

方法二：

我们假定w₁, ..., w_n和W都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下，前j种物品的总价格所能达到的最高值定义为A(j, Y)。

A(j, Y)的递推关系为：

• A(0, Y) = 0
• A(j, 0) = 0
• 如果w_j > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
• 如果w_j ≤ Y, A(j, Y) = max { A(j - 1, Y), p_j + A(j - 1, Y - w_j) }

最后一个公式的解释：总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况，第一种是在Y重量下，可以在前j - 1个物品中得到最大价值，这对应于表达式A(j - 1,Y)。第二种是包含了第j个物品，那么对于前j-1个物品，可以在重量为Y-w_j的情况下找到最大价值，综合起来就是p_j + A(j - 1, Y - w_j)。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//每件物品的价值和重量
typedef struct goods_t
{
  int weight;
  int value;
}goods;

//动态规划
int dp(goods* data, const int n, const int weight)
{
  int A[n+1][weight+1];
  int i;
  //如果i=0或者w=0
  for (i = 0; i < n+1; i++)
    A[i][0] = 0;
  for (i = 0; i < weight+1; i++)
    A[0][i] = 0;
  int w;
  for (i = 1; i <= n; i++)
  {
    for (w = 1; w <= weight; w++)
    {
      if (data[i-1].weight > w)
    A[i][w] = A[i-1][w];
      else
      {
    A[i][w] = A[i-1][w] > (data[i-1].value + A[i-1][w-data[i-1].weight]) ? A[i-1][w] : (data[i-1].value + A[i-1][w-data[i-1].weight]);
      }
    }
  }
  return A[n][weight];
}

int main()
{
  //输入最大重量
  int max_weight;
  scanf("%d", &max_weight);
  //输入物品件数及其重量和价值
  int num;
  scanf("%d", &num);
  int n = num;
  goods* data = (goods*)malloc(n*sizeof(goods));

  goods g;
  while (num--)
  {
    scanf("%d%d", &(g.weight), &(g.value));
    data[n-num-1] = g;
  }
  printf("%d\n", dp(data, n, max_weight));
  return 0;
}

参考：维基百科 背包问题

CLRS 16.2-6 说明如何在O(n)时间内解决部分背包问题

W表示背包所容最大重量

1.将p_i = v_i / w_i 计算出来，然后找出其中间值m，时间为O(n)，这里只是找到m，不用排序，所以复杂度仅为O(n)。（用快排的思想，大体是这样的，选定一个数，将集合分为两半，一个集合大于它，一个集合小于它，若两个集合相等，则这个数就是中位数，否则进入大集合里面继续找，每次都对半，n/2 + n/4 + n/8 + ...  = O(n)）

2.找到中位数之后，将所有物品按>m, =m, <m分为三个集合，分别为L、M、N，计算集合L内所有物品加起来的总重量W_L，

   2.1W_L=W，则W_L集合内物品即为所求

   2.2若W_L < W，那再在M集合里添加物品，若还是不够，就在N集合里找，在N集合里找的时候，重复步骤1，2。 

   2.3若W_L > W，那就在L集合里重复步骤1，2.

CLRS 16.2-7 

A和B都按升序或者都按降序排列即可。

任意选取两个元素ai,aj,bi,bj，

计算ai^bi*aj^bj，同时计算ai^bj*aj^bi，两式相除，不管是升序还是降序，都是ai^bi*aj^bj大。由于是任意选取的，推广开来，因而总的也最大。