poj 1185 炮兵布阵

状态压缩DP（使用位运算加速）

这是个经典的状态压缩DP，为加深印象详细写写一下报告，由于是中文题目所以不说题意了

思考方法：首先，一个炮的攻击有两行，所以对于第i行来讲，i-1行和i-2行对它有影响，i-3行及以上的都没有影响了，所以我们要得到第i行的信息，只需要知道i-1和i-2的信息（最近有个体会，DP要找到什么因素影响了当前你要求的东西，有影响的我们就处理，没影响的我们不用管）。接着我们就思考怎么表示状态。山用1表示，空地用0表示，空地放了兵也用1表示，那么对于一行，就是一个01的串，这是个二进制数，我们可以想到状态压缩压缩回来一个十进制数。

比如原地图01101011，那么0处可以放兵，所有那么多个0，可以变为1（但也要考虑炮与炮之间不能攻击），要枚举全部情况，我们很自然想到了dfs来枚举，很多解题报告是这样做的，这样确实也能解决，但不是最好的方法。最好的方法是位运算。

要想到位运算，要跳出思维的限制，在一行中，原有的1是固定不能变，炮不能放在山上。0是可以变为1的，但是要保证炮与炮之间不能攻击。要满足这两个要求，我们可以拆开来做。先满足了炮与炮不能互相攻击，然后在这些摆放中再选出跑不在山上的。

只考虑炮的话，枚举量2^10-1，但实际上满足的不足60个，网上有人问过60是怎么计算的，实际上准确的做法我也不确定，但是能大概推出来。一列最多10位，最多其实只能放4个炮，然后接着看3个炮，2个炮，1个炮，0个炮的情况，就可以大致算出。

枚举方法是   for(i=0; i<(i<<col); i++)  if( !(i&(i<<1)) & !(i&(i<<2)) )  i是合法状态   这个是要点，要理解    

int state[MAXM];  保存状态（十进制数），是仅仅满足了炮与炮不互相攻击，但是没有满足炮不在山上

对于一开始的地图，还没放炮，它本身已经表示了一个状态，所以也先压成一个状态，保存在一个数组中

再者，我们得到了一个状态state[i]，我们怎么知道这个状态下放了多少炮啊？其实就是判断state[i]这个十进制数变为二进制数后有多少个1，这个要怎么统计呢？位运算！

并且把对应的士兵人数保存在  int soldier[MAXM]; //对应着，在state[i]状态下能放多少个士兵

int base[MAXR];  //第i行的原地图压缩成的一个状态

那么怎么判断炮不在山上呢？  只要state[i] & base[r] = 0 ,就表示state[i]这个状态，可以放在r这行上，而且炮不会在山上，炮之间也不会攻击，这是个要点，理解

 

然后前面说了，i行，i-1行，i-2行的炮会互相影响，他们可能会互相攻击到对方，所以我们假设现在i行，i-1行，i-2行的炮的摆放情况分别是state[i],state[j],state[k]

只有当他们都不两两攻击的时候，这3个状态才能放在一起，否则这3个状态不能放在一起。那么怎么判断他们不会两两攻击呢，方法一样的

state[i] & state[j] = 0   state[i] & state[k] = 0     state[j] & state[k] = 0   ，三个要同时满足，要点，理解

你会发现多次需要用到 一种判断  a&b  是为0还是不为0，所以我们代码中将其写成宏定义方便查看，实际上写成宏后时间慢了一点

#define legal(a,b) (a&b) //判断两个状态共存时是否合法，合法为0，不合法为非0 

 

最后看状态转移方程，设dp[r][i]表示第r行，状态为state[i]是的最大值，

dp[r][i]=max { dp[r-1][j]+dp[r-2][k] } + soldier[i]

也就是第r-1行的状态为state[j]，第r-2行的状态为state[k]的和，并加上当前行放了soldier[i]个士兵 ， 但要满足state[i],state[j],state[k]不能互相攻击

接着我们可以可以写成三维的形式 dp[r][i][j]= max{ dp[r-1][j][k]} + soldier[i]  ,  dp[r][i][j]表示第r行状态为state[i]，第r-1行为state[j]的最大值

 

然后可以看代码了

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXR 110 //行数
#define MAXC 15  //列数
#define MAXM 70  //状态数
#define max(a,b) a>b?a:b //返回较大值
#define CL(a) memset(a,0,sizeof(a)) //初始化清空数组
#define legal(a,b) a&b //判断两个状态共存时是否合法，合法为0，不合法为非0

int row,col;  //行列
int nums;  //仅是两个炮兵不互相攻击的条件下，符合条件的状态个数
int base[MAXR];  //第i行的原地图压缩成的一个状态
int state[MAXM]; //仅是两个炮兵不互相攻击的条件下，符合条件的状态（一个十进制数）
int soldier[MAXM]; //对应着，在state[i]状态下能放多少个士兵
int dp[MAXR][MAXM][MAXM];
//dp[i][j][k] 表示第i行状态为state[j]，第i-1行状态为state[k]时的最优解
char g[MAXR][MAXC];

int main()
{
    CL(base); CL(state); CL(soldier); CL(dp);
    nums=0;

    scanf("%d%d",&row,&col);
    for(int i=0; i<row; i++)  //先计算原始地图的状态数
    {
        scanf("%s",g[i]);
        for(int j=0; j<col; j++)
        if(g[i][j]=='H') base[i]+=1<<j; //像0110000，这里计算为6
    }

    for(int i=0; i<(1<<col); i++)  //仅是两个炮兵不互相攻击的条件下计算所有状态
    {
        if( legal(i,i<<1) || legal(i,i<<2)) continue; //i这个状态出现了士兵两两攻击
        int k=i;
        while(k) //这个循环计算状态i的二进制形式里面有多少个1，也就是放了多少个士兵
        {
            soldier[nums]+=k&1; //等价于k%2，相当于判断k的二进制形式里面有多少个1
            k=k>>1;
        }
        state[nums++]=i; //保存这个合法的状态
    }

    /***************************************/
    //for(int i=0; i<nums; i++) printf("%d %d\n",state[i],soldier[i]);
    /***************************************/

    for(int i=0; i<nums; i++) //先初始化dp[0][i][0]，即初始化第1行的情况
    {
        if(legal(state[i],base[0])) continue;
        //在state[i]的基础上，还要满足士兵不能放在山上，这个判断就是处理这个问题的
        dp[0][i][0]=soldier[i];
    }
    for(int i=0; i<nums; i++) //接着初始化dp[1][i][j]，即第2行的情况
    {
        if(legal(state[i],base[1])) continue;
        for(int j=0; j<nums; j++) //枚举第1行的状态
        {
            if(legal(state[j],base[0])) continue;
            if(legal(state[i],state[j])) continue;
            dp[1][i][j]=max(dp[1][i][j] , dp[0][j][0]+soldier[i]);
            //状态转移方程
        }
    }

    for(int r=2; r<row; r++) //第3行开始DP直到最后
        for(int i=0; i<nums; i++) //枚举第r行的状态
        {
            if(legal(state[i],base[r])) continue;
            for(int j=0; j<nums; j++) //枚举第r-1行的状态
            {
                if(legal(state[j],base[r-1])) continue;
                if(legal(state[i],state[j])) continue;
                //第r行的士兵和第r-1行的士兵相互攻击
                for(int k=0; k<nums; k++) //枚举第r-2行的状态
                {
                    if(legal(state[k],base[r-2])) continue;

                    if(legal(state[j],state[k])) continue;
                    //第r-1行的士兵和第r-2行的士兵相互攻击
                    if(legal(state[i],state[k])) continue;
                    //第r行的士兵和第r-1
                    dp[r][i][j]=max(dp[r][i][j] , dp[r-1][j][k]+soldier[i]);
                }
            }
        }

    int ans=0;
    for(int i=0; i<nums; i++)
        for(int j=0; j<nums; j++) //枚举dp[row-1][i][j]
            ans=max(ans,dp[row-1][i][j]);
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}