卡特兰数(Catalan Number)

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 ( Eugène Charles Catalan,1814–1894)命名。

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262, 11959798385860453492, 45950804324621742364, ...

卡塔兰数的一般项公式为

 

C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}

 

C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad\mbox{ for }n\ge 1

 

递推关系

 

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.

 

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

 

 

【问题1】有2N个顾客排队购买一种产品，该产品的售价为5元，其中N个顾客手持5元的货币，其余N个顾客手持10元货币。由于售货员手中没有零钱找零，因此售货员必须将这2N个顾客按照一定的次序排好队，问有多少种排队方式可以依次顺利发售货品，而不出现无法找零的情况。

 

【问题2】Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

 

【问题3】将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())

 

【问题4】Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

 

【问题5】Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

 

Catalan number binary tree example.png

 

【问题6】Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

 

Catalan number 4x4 grid example.svg

 

【问题7】Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

 

Catalan-Hexagons-example.svg

 

【问题8】Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

 

【问题9】Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.

 

【问题10】Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

 

Catalan stairsteps 4.svg

 

 

 

C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!} = \prod\limits_{k=2}^{n}\frac{n+k}{k} \qquad\mbox{ for }n\ge 0.      http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number 

 

 

posted @ 2013-10-07 05:25  qilinart  阅读(532)  评论(0)    收藏  举报