代码改变世界

用JavaScript玩转游戏物理(一)运动学模拟与粒子系统

2010-06-14 16:19 by Milo Yip, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑

系列简介

也许,三百年前的艾萨克·牛顿爵士(Sir Issac Newton, 1643-1727)并没幻想过,物理学广泛地应用在今天许多游戏、动画中。为什么在这些应用中要使用物理学?笔者认为,自我们出生以来,一直感受着物理世界的规律,意识到物体在这世界是如何"正常移动",例如射球时球为抛物线(自旋的球可能会做成弧线球) 、石子系在一根线的末端会以固定频率摆动等等。要让游戏或动画中的物体有真实感,其移动方式就要符合我们对"正常移动"的预期。

今天的游戏动画应用了多种物理模拟技术,例如运动学模拟(kinematics simulation)、刚体动力学模拟(rigid body dynamics simulation)、绳子/布料模拟(string/cloth simulation)、柔体动力学模拟(soft body dynamics simulation)、流体动力学模拟(fluid dynamics simulation)等等。另外碰撞侦测(collision detection)是许多模拟系统里所需的。

本系列希望能介绍一些这方面最基础的知识,继续使用JavaScript做例子,以即时互动方式体验。

本文简介

作为系列第一篇,本文介绍最简单的运动学模拟,只有两条非常简单的公式。运动学模拟可以用来模拟很多物体运动(例如马里奥的跳跃、炮弹等),本文将会配合粒子系统做出一些视觉特效(粒子系统其实也可以用来做游戏的玩法,而不单是视觉特效)。

运动学模拟

运动学(kinematics)研究物体的移动,和动力学(dynamics)不同之处,在于运动学不考虑物体的质量(mass)/转动惯量(moment of inertia),以及不考虑加之于物体的力(force )和力矩(torque)。

我们先回忆牛顿第一运动定律:

当物体不受外力作用,或所受合力为零时,原先静止者恒静止,原先运动者恒沿着直线作等速度运动。该定律又称为「惯性定律」。

此定律指出,每个物体除了其位置(position)外,还有一个线性速度(linear velocity)的状态。然而,只模拟不受力影响的物体并不有趣。撇开力的概念,我们可以用线性加速度(linear acceleration)去影响物体的运动。例如,要计算一个自由落体在任意时间t的y轴座标,可以使用以下的分析解(analytical solution):

y(t)=\frac{1}{2}gt^2+v_0t+y_0

当中,y_0v_0分别是t=0时的y轴起始座标和速度,而g则是重力加速度(gravitational acceleration)。

这分析解虽然简单,但是有一些缺点,例如g是常数,在模拟过程中不能改变;另外,当物体遇到障碍物,产生碰撞时,这公式也很难处理这种不连续性(discontinuity) 。

在计算机模拟中,通常需要计算连续的物体状态。用游戏的用语,就是计算第一帧的状态、第二帧的状态等等。设物体在任意时间t的状态:位置矢量为\mathbf{r}(t)、速度矢量为\mathbf{v}(t)、加速度矢量为\mathbf{a}(t)。我们希望从时间t的状态,计算下一个模拟时间t+\Delta t的状态。最简单的方法,是采用欧拉方法(Euler method)作数值积分(numerical integration):

\begin{align*} \mathbf{v}(t+\Delta t) &= \mathbf{v}(t)+\mathbf{a}(t)\Delta t \\ \mathbf{r}(t+\Delta t) &= \mathbf{r}(t)+\mathbf{v}(t)\Delta t \end{align*}

欧拉方法非常简单,但有准确度和稳定性问题,本文会先忽略这些问题。本文的例子采用二维空间,我们先实现一个JavaScript二维矢量类:

// Vector2.js
Vector2 = function(x, y) { this.x = x; this.y = y; };

Vector2.prototype = {
    copy : function() { return new Vector2(this.x, this.y); },
    length : function() { return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y); },
    sqrLength : function() { return this.x * this.x + this.y * this.y; },
    normalize : function() { var inv = 1/this.length(); return new Vector2(this.x * inv, this.y * inv); },
    negate : function() { return new Vector2(-this.x, -this.y); },
    add : function(v) { return new Vector2(this.x + v.x, this.y + v.y); },
    subtract : function(v) { return new Vector2(this.x - v.x, this.y - v.y); },
    multiply : function(f) { return new Vector2(this.x * f, this.y * f); },
    divide : function(f) { var invf = 1/f; return new Vector2(this.x * invf, this.y * invf); },
    dot : function(v) { return this.x * v.x + this.y * v.y; }
};

Vector2.zero = new Vector2(0, 0);

然后,就可以用HTML5 Canvas去描绘模拟的过程:



 

修改代码试试看

  1. 改变起始位置
  2. 改变起始速度(包括方向)
  3. 改变加速度

这程序的核心就是step()函数头两行代码。很简单吧?

粒子系统

粒子系统(particle system)是图形里常用的特效。粒子系统可应用运动学模拟来做到很多不同的效果。粒子系统在游戏和动画中,常常会用来做雨点、火花、烟、爆炸等等不同的视觉效果。有时候,也会做出一些游戏性相关的功能,例如敌人被打败后会发出一些闪光,主角可以把它们吸收。

粒子的定义

粒子系统模拟大量的粒子,并通常用某些方法把粒子渲染。粒子通常有以下特性:

  1. 粒子是独立的,粒子之间互不影响(不碰撞、没有力)
  2. 粒子有生命周期,生命结束后会消失
  3. 粒子可以理解为空间的一个点,有时候也可以设定半径作为球体和环境碰撞
  4. 粒子带有运动状态,也有其他外观状态(例如颜色、影像等)
  5. 粒子可以只有线性运动,而不考虑旋转运动(也有例外)

以下是本文例子里实现的粒子类:

// Particle.js
Particle = function(position, velocity, life, color, size) {
    this.position = position;
    this.velocity = velocity;
    this.acceleration = Vector2.zero;
    this.age = 0;
    this.life = life;
    this.color = color;
    this.size = size;
};

游戏循环

粒子系统通常可分为三个周期:

  1. 发射粒子
  2. 模拟粒子(粒子老化、碰撞、运动学模拟等等)
  3. 渲染粒子

在游戏循环(game loop)中,需要对每个粒子系统执行以上的三个步骤。

生与死

在本文的例子里,用一个JavaScript数组particles储存所有活的粒子。产生一个粒子只是把它加到数组末端。代码片段如下:

//ParticleSystem.js
function ParticleSystem() {
    // Private fields
    var that = this;
    var particles = new Array();

    // Public fields
    this.gravity = new Vector2(0, 100);
    this.effectors = new Array();

    // Public methods
        
    this.emit = function(particle) {
        particles.push(particle);
    };

    // ...
}

粒子在初始化时,年龄(age)设为零,生命(life)则是固定的。年龄和生命的单位都是秒。每个模拟步,都会把粒子老化,即是把年龄增加\Delta t,年龄超过生命,就会死亡。代码片段如下:

function ParticleSystem() {
    // ... 
    this.simulate = function(dt) {
        aging(dt);
        applyGravity();
        applyEffectors();
        kinematics(dt);
    };
    
    // ...

    // Private methods
    
    function aging(dt) {
        for (var i = 0; i < particles.length; ) {
            var p = particles[i];
            p.age += dt;
            if (p.age >= p.life)
                kill(i);
            else
                i++;
        }
    }

    function kill(index) {
        if (particles.length > 1)
            particles[index] = particles[particles.length - 1];
        particles.pop();
    }
    // ...
}

在函数kill()里,用了一个技巧。因为粒子在数组里的次序并不重要,要删除中间一个粒子,只需要复制最末的粒子到那个元素,并用pop()移除最末的粒子就可以。这通常比直接删除数组中间的元素快(在C++中使用数组或std::vector亦是)。

运动学模拟

把本文最重要的两句运动学模拟代码套用至所有粒子就可以。另外,每次模拟会先把引力加速度写入粒子的加速度。这样做是为了将来可以每次改变加速度(续篇会谈这方面)。

function ParticleSystem() {
    // ...
    function applyGravity() {
        for (var i in particles)
            particles[i].acceleration = that.gravity;
    }

    function kinematics(dt) {
        for (var i in particles) {
            var p = particles[i];
            p.position = p.position.add(p.velocity.multiply(dt));
            p.velocity = p.velocity.add(p.acceleration.multiply(dt));
        }
    }
    // ...
}

渲染

粒子可以用很多不同方式渲染,例如用圆形、线段(当前位置和之前位置)、影像、精灵等等。本文采用圆形,并按年龄生命比来控制圆形的透明度,代码片段如下:

function ParticleSystem() {
    // ...
    this.render = function(ctx) {
        for (var i in particles) {
            var p = particles[i];
            var alpha = 1 - p.age / p.life;
            ctx.fillStyle = "rgba("
                + Math.floor(p.color.r * 255) + ","
                + Math.floor(p.color.g * 255) + ","
                + Math.floor(p.color.b * 255) + ","
                + alpha.toFixed(2) + ")";
            ctx.beginPath();
            ctx.arc(p.position.x, p.position.y, p.size, 0, Math.PI * 2, true);
            ctx.closePath();
            ctx.fill();
        }
    }
    // ...
}

基本粒子系统完成

以下的例子里,每帧会发射一个粒子,其位置在画布中间(200,200),发射方向是360度,速率为100,生命为1秒,红色、半径为5象素。



 

修改代码试试看

  1. 改变发射位置
  2. 向上发射,发射范围在90度内
  3. 改变生命
  4. 改变半径
  5. 每帧发射5个粒子

简单碰撞

为了说明用数值积分相对于分析解的优点,本文在粒子系统上加简单的碰撞。我们想加入一个需求,当粒子碰到长方形室(可设为整个Canvas大小)的内壁,就会碰撞反弹,碰撞是完全弹性的(perfectly elastic collision)。

在程序设计上,我把这功能用回调方式进行。 ParticleSystem类有一个effectors数组,在进行运动学模拟之前,先执行每个effectors对象的apply()函数:

而长方形室就这样实现:

// ChamberBox.js
function ChamberBox(x1, y1, x2, y2) {
    this.apply = function(particle) {
        if (particle.position.x - particle.size < x1 || particle.position.x + particle.size > x2)
            particle.velocity.x = -particle.velocity.x;

        if (particle.position.y - particle.size < y1 || particle.position.y + particle.size > y2)
            particle.velocity.y = -particle.velocity.y;
    };
}

这其实就是当侦测到粒子超出内壁的范围,就反转该方向的速度分量。

此外,这例子的主循环不再每次把整个Canvas清空,而是每帧画一个半透明的黑色长方形,就可以模拟动态模糊(motion blur)的效果。粒子的颜色也是随机从两个颜色中取样。



互动发射

最后一个例子加入互动功能,在鼠标位置发射粒子,粒子方向是按鼠标移动速度再加上一点噪音(noise)。粒子的大小和生命都加入了随机性。



总结

本文介绍了最简单的运动学模拟,使用欧拉方法作数值积分,并以此法去实现一个有简单碰撞的粒子系统。本文的精华其实只有两条简单公式(只有两个加数和两个乘数),希望让读者明白,其实物理模拟可以很简单。虽然本文的例子是在二维空间,但这例子能扩展至三维空间,只须把Vector2换成Vector3。本文完整源代码可下载

续篇会谈及在此基础上加入其他物理现象,有机会再加入其他物理模拟课题。希望各位支持,并给本人更多意见。