损失函数的概率验证及性质
从http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7560748.html这篇文章中，我们知道损失函数为下面的形式：
\[J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0^{(i)}, x_1^{(i)}, ...,x_n^{(i)})- y^{(i)})^2\]
或者
\[J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\]
为什么选这个函数为损失函数呢？也就是说为什么选择最小二乘作为指标来计算回归方程参数？这个可以用概率论的方法进行证明。
首先我们提供一组假设，依据这些假设，来证明选择最小二乘是合理的。
（1） 假设1：
假设输入与输出为线性函数关系，表示为：\(y^{(i)}=\theta^Tx^{(i)}+\epsilon^{(i)}\)
其中\(\epsilon^{(i)}\)为误差项，这个参数可以理解为对未建模效应的捕获，如果还有其他特征，这个误差项表示了一种我们没有捕获的特征，或者看成一种随机的噪声。
假设\(\epsilon^{(i)}\)服从高斯分布（正态分布）\(\epsilon^{(i)} \sim N(0,\sigma^2)\)，表示一个均值是0，方差是\(\sigma^2\)的高斯分布,且每个误差项彼此之间是独立的，并且他们服从均值和方差相同的高斯分布(IID independently and identically distributed,独立同分布)。
那么高斯分布的概率密度函数：
\[p(\epsilon^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(\epsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big)\]
根据上述两式可得：
\[p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big)\]
注意： \(\theta\)并不是一个随机变量，而是一个尝试估计的值，就是说它本身是一个常量，只不过我们不知道它的值，所以上式中用分号表示。分号应读作“以…作为参数”，上式读作“给定\(x^{(i)}\)以\(\theta\)为参数的\(y^{(i)}\)的概率服从高斯分布”。
即在给定了特征与参数之后，输出是一个服从高斯分布的随机变量,可描述为：\(y^{(i)}|x^{(i)};\theta \sim N(\theta^Tx^{(i)},\sigma^2)\)，
为什么选取高斯分布？
1) 便于数学处理。
2) 对绝大多数问题，如果使用了线性回归模型，然后测量误差分布，通常会发现误差是高斯分布的。
3) 中心极限定律：若干独立的随机变量之和趋向于服从高斯分布。若误差有多个因素导致，这些因素造成的效应的总和接近服从高斯分布。
（2） 假设2：
给定\(X\)（特征矩阵，包含所有的\(x^{(i)}\))和\(\theta\),如何描述\(y^{(i)}\)的概率呢？首先我们可以把\(y^{(i)}\)的概率写成\(p(\overrightarrow{y}|X;\theta)\)。这个概率可以把\(\theta\)看成为固定值，\(\overrightarrow{y}\)或\(X\)的函数。我们称这个函数为\(\theta\)的似然函数。
\[L(\theta)=L(\theta;X,\overrightarrow{y})=p(\overrightarrow{y}|X;\theta)\]
由于\(\epsilon^{(i)}\)是独立同分布，所以给定\(x^{(i)}\)情况下\(y^{(i)}\)也是独立同分布，则上式可写成所有分布的乘积：
\[\begin{align*} L(\theta) &=\prod_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) \\
&=\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \end{align*}\]
（3） 假设3：
极大似然估计：选取\(\theta\)使似然性\(L(\theta)\)最大化（数据出现的可能性尽可能大）
定义\(L(\theta)\)对数似然函数为 ：
\begin{align*}l(\theta) &= logL(\theta) \\ &=log\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{m}log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \\ &=mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}-\frac{1}{\sigma^2}*\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\end{align*}
上式两个加项，前一项为常数。所以，使似然函数最大，就是使后一项最小，即：\(\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\)
这一项就是之前的\(J(\theta)\)，由此得证，之前的最小二乘法计算参数，实际上是假设了误差项满足高斯分布，且独立同分布的情况，使\(\theta\)似然最大化来计算参数。
注意：高斯分布的方差对最终结果没有影响，由于方差一定为正数，所以无论取什么值，最后结果都相同。
假设\(h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}x\),下面在matlib中画出损失函数\(J(\theta)\)。
样本文件下载：ex2Data.zip
代码如下：
clear all; close all; clc; J_vals = zeros(100, 100); % 初始化损失函数参数矩阵，假设只有theta_0, theta_1 theta0_vals = linspace(-3, 3, 100); %范围-3,3,100个值 theta1_vals = linspace(-1, 1, 100); %范围-1,1,100个值 x = load('ex2x.dat'); y = load('ex2y.dat'); m = length(x); x = [ones(m, 1) x]; %循环theta0,theta1 for i = 1:length(theta0_vals) for j = 1:length(theta1_vals) t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)]; J_vals(i,j) = 0; for k = 1:m J_vals(i,j) = J_vals(i,j)+(x(k,:)*t-y(k))^2; end J_vals(i,j) = J_vals(i,j)/(2*m); end end % 用surf函数来画损失函数 J_vals = J_vals' figure; surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals) xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1') figure; % 画损失函数的轮廓，注意范围是0.01 - 100,总共15个轮廓 contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15)) xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')
你可以旋转图，从不同视角观察这个图形。右边的轮廓图\(\theta\)范围是0.01 - 100,总共15个轮廓。
我们可以看到取我们用梯度下降法中求得的\(\theta\)值时，损失函数取得最小值，并且损失函数具有全局最小值，并没有局部极小值，它是一个凸函数。
这是我们用批量梯度下降法求得的\(\theta\)值。 http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7634571.html
theta =
0.7502
0.0639
