【笔记】【线性代数的本质】6-逆矩阵、列空间、零向量

笔记目录

---

线性方程组与矩阵

线性方程组列对齐后可以写成矩阵乘法的形式

求解$A\cdot x=v $时， 即要求取向量x 经矩阵A变换后与向量v重合。

可以分为以下两种情况讨论

\(det(A)!=0\)

如果A的行列式不为0，则可以对向量v进行逆变换求解x；
即对v左乘一个能抵消A变换作用相反的矩阵
由此引出概念逆矩阵，记作\(A^{-1}\)
\(A^{-1}\cdot A=E\)
\(x=A^{-1}\cdot v\)

\(det(A)=0\)

如果A的行列式为0，则空间被压缩了，此时只有在此种情况才有解：v恰好落在压缩后的空间内。

秩

秩(rank)可以描述空间被压缩的情况
例如，对一个3*3的变换矩阵来说，如果空间被压缩成了一个平面，可以称矩阵的秩为2；如果是直线则为1；特殊的，如果没有被压缩，秩为3，称为满秩。

列空间

矩阵的秩等于由矩阵的列向量张成的空间(span)的维数。因此列向量是否线性相关也可以反应空间是否被压缩，行列式是否为0。

零空间

如果v是零向量，则对任意A矩阵，都存在x的解——零向量。