CodeForces 794 G.Replace All

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解题思路

首先如果字符串 \(A, B\) 没有匹配，那么二元组 \((S, T)\) 合法的一个必要条件是存在正整数对 \((x,y)\)，使得 \(xS=yT\)，其中 \(xS\) 是将字符串 \(S\) 复制 \(x\) 遍后得到的字符串，\(yT\) 是将字符串 \(T\) 复制 \(T\) 遍后得到的字符串。由于 \(A,B\) 直接匹配的情况比较容易讨论，下面没有特殊说明，都是 \(A,B\) 没有直接匹配的情况。

这个条件的实际意义是通过这个二元组 \((S,T)\) 转化后，能将 \(x\) 个 \('a'\) 组成的子串与 \(y\) 个 \('b'\) 组成的子串通配，必要性可以根据这个感性理解，下面来证明满足这个条件的二元组的一些性质。

对于字符串 \(C=xS=yT\) ，显然存在周期 \(x\) 和周期 \(y\) ，根据周期定理 \(\gcd(x,y)\) 也是 \(C\) 的一个周期，其也是 \(S,T\) 的一个周期，我们令 \(C[1:\gcd(x,y)]=D\) ，那么 \(S=\dfrac{y}{\gcd(x,y)}D,T=\dfrac{x}{\gcd(x,y)}D\) 。用 \(+\) 表示字符串的拼接，可以得到 \(S+T=T+S=\dfrac{xy}{\gcd(x,y)}D\) 。也就是用这个二元组转化后，任意两个相邻的字符 \('a','b'\) 交换后得到的字符串不变，最终的字符串只与字符 \('a','b'\) 的数量用关。

假设将 \('?'\) 填好之后，令 \(\Delta a\) 表示 \(A\) 中 \('a'\) 的数量与 \(B\) 中 \('a'\) 的数量之差，\(\Delta b\) 表示 \(A\) 中 \('b'\) 的数量与 \(B\) 中 \('b'\) 的数量之差，此时如果 \(\Delta a \Delta b\geq0\) 且 \(\Delta a,\Delta b\) 不同时等于 \(0\) ，那么不存在满足条件的合法二元组。

如果 \(\Delta a=0,\Delta b=0\) ，那么任意一个满足条件的合法二元组都可以，其中一个 \(\gcd(x,y)=g\) 的合法二元组的方案数就是 \(2^g\) (考虑字符串 \(D\) 的每一位是怎么填的即可)，那么只需要容斥出所有 \(\gcd(x,y)=i\) 的对数即可。

否则，满足条件的 \(x, y\) 的比值是 \(\dfrac{|\Delta a|}{|\Delta b|}\) ，令 \(g=\gcd(\Delta a,\Delta b)\) ，枚举 \(D\) 的长度，方案数就是

\[2^{\dfrac{n}{\dfrac{\max(|\Delta a|,|\Delta b|)}{g}}+1}-2 \]

现在考虑 \('?'\) 的影响，令 \(cntA\) 为 \(A\) 中 \('?'\) 个数，\(cntB\) 为 \(B\) 中 \('?'\) 个数，那么填 \('?'\) 的影响就是让 \(\Delta a\) 加上一个整数 \(d\)，\(\Delta b\) 加上 \(cntA-cntB-d\)，这样选的方案数是 \({cntA+cntB}\choose{cntB+d}\) ，推导可以把方案数的和式列出来然后展开，当然你要做卷积也是可以的。(模数 \(10^9+7\)) ，然后只需要枚举一下 \('?'\) 贡献的 \(d\) 的值这一部分就算出来了。

注意前面提到的都是 \(A,B\) 没有直接匹配的情况，对于 \(A,B\) 在填完 \('?'\) 之后能直接匹配的情况，所有的二元组都是合法的，只需要把之前没算的部分在这里算上即可，总的复杂度是 \(\mathcal O(n\log n)\) 。

code

/*program by mangoyang*/
#include <bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
	int ch = 0, f = 0; x = 0;
	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
	if(f) x = -x;
}
const int N = 1000005, mod = 1e9 + 7;
char s[N], t[N];
int inv[N], js[N], pw[N], f[N], cnts, cntt, da, db, lens, lent, n, ans, total;
inline int Pow(int a, int b){
	int ans = 1;
	for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
	return ans;
}
inline int C(int x, int y){ 
	return 1ll * js[x] * inv[y] % mod * inv[x-y] % mod; 
}
int main(){
	scanf("%s", s + 1), scanf("%s", t + 1), read(n);
	lens = strlen(s + 1), lent = strlen(t + 1);
	for(int i = 1; i <= lens; i++){
		if(s[i] == 'A') da++; if(s[i] == 'B') db++; if(s[i] == '?') cnts++;
	}
	for(int i = 1; i <= lent; i++){
		if(t[i] == 'A') da--; if(t[i] == 'B') db--; if(t[i] == '?') cntt++;
	}
	inv[0] = js[0] = pw[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n + 1; i++) pw[i] = 2ll * pw[i-1] % mod;
	for(int i = 1; i <= lens + lent; i++) 
		js[i] = 1ll * js[i-1] * i % mod, inv[i] = Pow(js[i], mod - 2);
	for(int i = n; i; i--){
		f[i] = 1ll * (n / i) * (n / i) % mod;
		for(int j = i + i; j <= n; j += i) (f[i] += mod - f[j]) %= mod;
		total = (total + 1ll * f[i] * pw[i] % mod) % mod;
	}
	for(int d = -cntt; d <= cnts; d++){
		int A = da + d, B = db + cnts - cntt - d, x = C(cnts + cntt, cntt + d);
		if(!A && !B) (ans += 1ll * x * total % mod) %= mod;
		if(1ll * A * B >= 0) continue;
		int g = __gcd(abs(A), abs(B)); 
		A = abs(A) / g, B = abs(B) / g;
		(ans += (1ll * x * (pw[n/max(A,B)+1] - 2) + mod) % mod) %= mod;
	}
	if(lens == lent){
		int flag = 1, res = 1;
		for(int i = 1; i <= lens; i++){
			if(s[i] != '?' && t[i] != '?' && s[i] != t[i]) flag = 0;
			if(s[i] == '?' && t[i] == '?') res = 2ll * res % mod;
		}
		if(!flag) return cout << ans << endl, 0;
		(ans += 1ll * res * (1ll * (pw[n+1] - 2) * (pw[n+1] - 2) % mod - total) % mod) %= mod;
		ans = (ans % mod + mod) % mod;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}