UOJ #7 【NOI2014】 购票
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这道题我调了好久啊……主要还是因为这种用\(CDQ\)分治来搞斜率优化的题已经很久没写过了……上一次要追溯到去年暑假去了……
看下面这些东西之前你需要先自己推出斜率优化的式子……
这道题我们先来考虑一下如果不是树，在序列上怎么做。用\(CDQ\)分治的思想，先递归处理左半区间，然后用左半区间的值来更新右半区间，最后递归处理右半区间。这样的话，每次递归处理到一个区间，我们只需要考虑这个区间左边的点对右边的点的影响，对左边的点维护一个凸包，每次在凸包上二分最优解即可。
考虑如何把这个拓展到树上。我们树分治的时候每次是找了一个重心出来，然后递归处理剩下的部分。因此，我们在做这道题的时候，只需先递归处理剩下的子树中重心父亲所在的块，然后更新其他点的答案，最后递归其他联通块即可。注意重心需要单独考虑一下。
还有一个细节：先把所有祖先拿出来构凸包，然后每次在上面二分是不对的。因为这样可能会出现这种情况：对于一个点\(x\)，它的最优决策是\(u\)，在\(fa_u\)加入了凸包后点\(u\)会被从凸包中踢掉。但是如果\(x\)只能到\(u\)而到不了\(fa_u\)，就挂掉了……因为这里我调了好久……所以我们需要把点抠出来按能够到达的最小深度排序，然后把祖先一个一个往凸包里面加……
不知道为什么我的程序好慢……
下面贴代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 200010
#define INF (1ll<<60)
using namespace std;
typedef long long llg;
int n,fa[maxn],p[maxn],T;
int head[maxn],next[maxn<<1],to[maxn<<1],tt;
llg d[maxn],f[maxn],q[maxn],L[maxn];
struct point{
llg x,y;
bool operator < (const point &h)const{return x>h.x;}
point(llg a=0,llg b=0):x(a),y(b){}
}s[maxn];
struct Convex{//维护下凸包
point s[maxn];int ls;
double R(point a,point b){return (double)(b.y-a.y)/(b.x-a.x);}
void push(point x){
while(ls>1 && R(s[ls-1],s[ls])<=R(s[ls],x)) ls--;
s[++ls]=x;
}
llg find(int x){//二分斜率
if(!ls) return INF;
int l=1,r=ls,mid;
while(l<r){
mid=(l+r)>>1;
if(R(s[mid],s[mid+1])<x) r=mid;
else l=mid+1;
}
return s[l].y-1ll*x*s[l].x;
}
}tu;
void link(int x,int y){
to[++tt]=y;next[tt]=head[x];head[x]=tt;
to[++tt]=x;next[tt]=head[y];head[y]=tt;
}
int a[maxn],la,val[maxn],siz[maxn],dax[maxn];
bool vis[maxn];
void dfs(int u){
vis[u]=1; a[++la]=u; siz[u]=1; dax[u]=0;
for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
if(!vis[v]) dfs(v),siz[u]+=siz[v],dax[u]=max(dax[u],siz[v]);
vis[u]=0;
}
void solve(int ff,int fr){
la=0; dfs(ff); int k=a[1],ls=0;
for(int i=1,u;u=a[i],i<=la;i++){
val[u]=max(dax[u],siz[ff]-siz[u]);
if(val[u]<val[k]) k=u;
}
vis[k]=1; if(!vis[fa[k]]) solve(fa[k],fr);//先处理父亲
a[la=1]=k;
for(int i=head[k],v;v=to[i],i;i=next[i])
if(!vis[v] && v!=fa[k]) dfs(v);
for(int i=1,u;u=a[i],i<=la;i++) s[i]=point(d[u]-L[u],u);
ls=la; sort(s+1,s+ls+1); la=0;//把所有需要被更新的点抠出来排序
for(int u=fa[k];!vis[u];u=fa[u]) a[++la]=u;
if(fr) a[++la]=fr; tu.ls=0;//上一层的重心没有在上一层考虑，这一层要加进来
for(int i=1,j=1,u;u=s[i].y,i<=ls;i++){//更新
while(j<=la && d[a[j]]>=s[i].x) tu.push(point(d[a[j]],f[a[j]])),j++;
f[u]=min(f[u],tu.find(p[u])+1ll*p[u]*d[u]+q[u]);
}
for(int i=head[k],v;v=to[i],i;i=next[i])
if(!vis[v] && v!=fa[k]) solve(v,k);
vis[k]=0;
}
int main(){
File("a");
scanf("%d %d",&n,&T);
for(int i=2;i<=n;i++){
scanf("%d %lld",&fa[i],&d[i]);
scanf("%d %lld %lld",&p[i],&q[i],&L[i]);
d[i]+=d[fa[i]]; link(i,fa[i]); f[i]=INF;
}
vis[0]=1; solve(1,0);
for(int i=2;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[i]);
return 0;
}
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