随笔- 32  文章- 0  评论- 5 

Description

为了调整电灯亮度,贝西要用干草包堆出一座塔,然后爬到牛棚顶去把灯泡换掉。干草 包会从传送带上运来,共会出现N包干草,第i包干草的宽度是Wi,高度和长度统一为1。干 草塔要从底层开始铺建。贝西会选择最先送来的若干包干草,堆在地上作为第一层,然后再 把紧接着送来的几包干草包放在第二层,再铺建第三层……重复这个过程,一直到所有的干 草全部用完。每层的干草包必须紧靠在一起,不出现缝隙,而且为了建筑稳定,上层干草的 宽度不能超过下层的宽度。按顺序运来的干草包一定要都用上,不能将其中几个干草包弃置 不用。贝西的目标是建一座最高的塔,请你来帮助她完成这个任务吧。

Input Format

第一行:单个整数:N,1 ≤ N ≤ 100000 第二行到N + 1行:第i + 1行有一个整数Wi,1 ≤ Wi ≤ 10000

Output Format

第一行:单个整数,表示可以建立的最高高度

Sample Input

3 
1 
2 
3

Sample Output

2

Hint

将1 和2放在第一层,将3放在第二层

 

题解

这题首先应该会想到贪心,但马上否定掉。但此时如果你完全放弃了贪心,那么你就很可能想不到正解了。

由于此题阶段明显,可以断定用动规。在不考虑数据范围的前提下应该是很好做的。但N ≤ 100000,只能寻求更好的算法。

再回想到贪心,这时会想到一个奇葩的感觉貌似是对的,又不知如何证明的推论:

将塔看作一个面积一定图形,要使其最高,必须最瘦。

事实上这个是正确的。证明引自张昆玮大牛

任意取出一个能使层数最高的方案,设有CA层,把其中从下往上每一层最大的块编号记为Ai;任取一个能使底边最短的方案,设有CB层,把其中从下往上每一层最大的块编号记为Bi。显然A1>=B1,ACB<=BCB,这说明至少存在一个k属于(1,CB),满足Ak-1>=Bk-1且Ak<=Bk。也就是说,方案 A 第K 层完全被方案 B 第K 层包含。构造一个新方案,第K 层往上按方案 A,往下按方案 B,两边都不要的块放中间当第K 层。新方案的层数与 A 相同,而底边长度与 B 相同。证毕。

(什么,看不懂?慢慢看吧。。耐心点就看懂了,想当初我也是如此熬过来的)

于是底边最短的方案,层数最高。枚举最底层由哪几块组成,由此可以得出一个方程:从n到i中最底层的宽度f[i]=min(sum[j-1...i]) 满足 f[j]<=sum[j-1...i](因为这样会使得上一层的宽度不大于下一层的宽度) 且 n>=j>i

其中i=n->1

分析一下,发现f[i]=min(sum[j-1])-sum[i-1](令sum[i]表示宽度的前缀和),而sum[i]是随i的增大而增大的,所以从i到n一旦发现一个符合条件的决策j,便将其取出来更新f[i]。但是这仍不能通过所有数据。

再次分析,发现所有的决策的值(例如对于决策j值即为sum[j-1])由n往前都是单调递减的,也就是一个比一个优。因此决定性的因素则是他们的生效时间。

对于决策j:观察不等式f[j]<=sum[j-1...i]即f[j]<=sum[j-1]-sum[i-1],变形可得sum[i-1]<=sum[j-1]-f[j],发现sum[j-1]-f[j]便是其生效时间,也就是说在第一个i使得sum[i-1]<=sum[j-1]-f[j]之后到1决策j都是有效的。于是我们可以开一个单调队列,使得生效时间递减,并且队头始终生效并且队头+1未生效。由于后入队的决策比前面的优,于是一旦队头+1生效,队头便可弹掉。入队的时候,如果发现队尾-1的生效时间<队尾的生效时间,则弹掉队尾-1。

如此一来便完美的解决了此题,复杂度为O(n)

CODE:

#include <cstdio>
const int N=100000+9;
int q[N],g[N],f[N],sum[N],w[N],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",w+i);
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    }
    q[1]=n+1;
    int h=1,t=1;
    for (int i=n;i;--i) {
        while (h<t && f[q[h+1]]<=sum[q[h+1]-1]-sum[i-1]) ++h;
        f[i]=sum[q[h]-1]-sum[i-1];
        g[i]=g[q[h]]+1; 
        q[++t]=i;
        while ((t>h) && (f[q[t-1]]-sum[q[t-1]-1]+sum[q[t]-1]>f[q[t]]))
            --t,q[t]=q[t+1];
    }
    printf("%d\n",g[1]);
}

 

 posted on 2012-11-07 20:51 Lazycal 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏