Machine Learning in Action(4) Logistic Regression

       从这节算是开始进入“正规”的机器学习了吧,之所以“正规”因为它开始要建立价值函数(cost function),接着优化价值函数求出权重,然后测试验证。这整套的流程是机器学习必经环节。今天要学习的话题是逻辑回归,逻辑回归也是一种有监督学习方法(supervised machine learning)。逻辑回归一般用来做预测,也可以用来做分类,预测是某个类别^.^!线性回归想比大家都不陌生了,y=kx+b,给定一堆数据点,拟合出k和b的值就行了,下次给定X时,就可以计算出y,这就是回归。而逻辑回归跟这个有点区别,它是一种非线性函数,拟合功能颇为强大,而且它是连续函数,可以对其求导,这点很重要,如果一个函数不可求导,那它在机器学习用起来很麻烦,早期的海维赛德(Heaviside)阶梯函数就因此被sigmoid函数取代,因为可导意味着我们可以很快找到其极值点,这就是优化方法的重要思想之一:利用求导,得到梯度,然后用梯度下降法更新参数。

        下面来看看逻辑回归的sigmoid函数,如(图一)所示:

 

(图一)

            (图一)中上图是sigmoid函数在定义域[-5,5] 上的形状,而下图是在定义域[-60,60]上的形状,由这两个图可以看出,它比较适合做二类的回归,因为严重两级分化。Sigmoid函数的如(公式一)所示:

 

(公式一)

         现在有了二类回归函数模型,就可以把特征映射到这个模型上了,而且sigmoid函数的自变量只有一个Z,假设我们的特征为X=[x0,x1,x2…xn]。令

,当给定大批的训练样本特征X时,我们只要找到合适的W=[w0,w1,w2…wn]来正确的把每个样本特征X映射到sigmoid函数的两级上,也就是说正确的完成了类别回归就行了,那么以后来个测试样本,只要和权重相乘后,带入sigmoid函数计算出的值就是预测值啦,很简单是吧。那怎么求权重W呢?

          要计算W,就要进入优化求解阶段咯,用的方法是梯度下降法或者随机梯度下降法。说到梯度下降,梯度下降一般对什么求梯度呢?梯度是一个函数上升最快的方向,沿着梯度方向我们可以很快找到极值点。我们找什么极值?仔细想想,当然是找训练模型的误差极值,当模型预测值和训练样本给出的正确值之间的误差和最小时,模型参数就是我们要求的。当然误差最小有可能导致过拟合,这个以后再说。我们先建立模型训练误差价值函数(cost function),如(公式二)所示:

 

(公式二)

        (公式二)中Y表示训练样本真实值,当J(theta)最小时的所得的theta就是我们要求的模型权重,可以看出J(theta)是个凸函数,得到的最小值也是全局最小。对其求导后得出梯度,如(公式三)所示:

 

(公式三)

        由于我们是找极小值,而梯度方向是极大值方向,因此我们取负号,沿着负梯度方向更新参数,如(公式四)所示:

 

(公式四)

        按照(公式四)的参数更新方法,当权重不再变化时,我们就宣称找到了极值点,此时的权重也是我们要求的,整个参数更新示意图如(图二)所示:

 

(图二)

        原理到此为止逻辑回归基本就说完了,下面进入代码实战阶段:

 1 from numpy import *
 2 
 3 def loadDataSet():
 4     dataMat = []; labelMat = []
 5     fr = open('testSet.txt')
 6     for line in fr.readlines():
 7         lineArr = line.strip().split()
 8         dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
 9         labelMat.append(int(lineArr[2]))
10     return dataMat,labelMat
11 
12 def sigmoid(inX):
13     return 1.0/(1+exp(-inX))

 

上面两个函数分别是加载训练集和定义sigmoid函数,都比较简单。下面发出梯度下降的代码:

 1 def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
 2     dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
 3     labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
 4     m,n = shape(dataMatrix)
 5     alpha = 0.001
 6     maxCycles = 500
 7     weights = ones((n,1))
 8     for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
 9         h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
10         error = (labelMat - h)              #vector subtraction
11         weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
12     return weights

 

         梯度下降输入训练集和对应标签,接着就是迭代跟新参数,计算梯度,然后更新参数,注意倒数第二句就是按照(公式三)和(公式四)来更新参数。

为了直观的看到我们得到的权重是否正确的,我们把权重和样本打印出来,下面是相关打印代码:

 1 def plotBestFit(weights):
 2     import matplotlib.pyplot as plt
 3     dataMat,labelMat=loadDataSet()
 4     dataArr = array(dataMat)
 5     n = shape(dataArr)[0] 
 6     xcord1 = []; ycord1 = []
 7     xcord2 = []; ycord2 = []
 8     for i in range(n):
 9         if int(labelMat[i])== 1:
10             xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
11         else:
12             xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
13     fig = plt.figure()
14     ax = fig.add_subplot(111)
15     ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
16     ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
17     x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
18     y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
19     ax.plot(x, y)
20     plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
21     plt.show()

 

打印的效果图如(图三)所示:

 

(图三)

       可以看出效果蛮不错的,小错误是难免的,如果训练集没有错误反而危险,说到这基本就说完了,但是考虑到这个方法对少量样本(几百的)还行,在实际中当遇到10亿数量级时,而且特征维数上千时,这种方法很恐怖,光计算梯度就要消耗大量时间,因此要使用随机梯度下降方法。随机梯度下降算法和梯度下降算法原理一样,只是计算梯度不再使用所有样本,而是使用一个或者一小批来计算梯度,这样可以减少计算代价,虽然权重更新的路径很曲折,但最终也会收敛的,如(图四)所示

 

(图四)

       下面也发出随机梯度下降的代码:

 1 def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
 2     m,n = shape(dataMatrix)
 3     weights = ones(n)   #initialize to all ones
 4     for j in range(numIter):
 5         dataIndex = range(m)
 6         for i in range(m):
 7             alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not 
 8             randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
 9             h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
10             error = classLabels[randIndex] - h
11             weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
12             del(dataIndex[randIndex])
13     return weights

 

       最后也给出一个分类的代码,只要把阈值设为0.5,大于0.5划为一类,小于0.5划为另一类就行了,代码如下:

1 def classifyVector(inX, weights):
2     prob = sigmoid(sum(inX*weights))
3     if prob > 0.5: return 1.0
4     else: return 0.0

 

总结:

        优点:计算量不高,容易实现,对现实数据也很容易描述

        缺点:很容易欠拟合,精度可能也会不高

以上内容来至朋友博客http://blog.csdn.net/marvin521/article/details/9263483

Ps:Logistic Regression是一种很经典很经典的分类方法,建立一个损失函数,套一个优化方法(梯度下降,随机梯度下降,共轭梯度,bfgs等)不断优化得到特征的W

。应用随机梯度优化方法的时候,如果数据属性有缺失的话,可以直接置0就好了,不影响W的优化。记得有位学者的文章详尽对比了Logistic Regression在不同优化方法的Performance,并提供了Matlab的toolbox,在应用中通常要对Logistic Regression的Loss Function加一个L1/L2的正则项约束。Mahout有该算法的并行实现,以前也用过GPU做了下给予共轭梯度的Logistic Regression的实现。

posted @ 2013-09-26 10:00  kobeshow  阅读(771)  评论(0编辑  收藏  举报