计数器（牛客网）

 

题目描述:

    有一个计数器，计数器的初始值为0，每次操作你可以把计数器的值加上a₁,a₂,...,a_n中的任意一个整数，操作次数不限（可以为0次），问计数器的值对m取模后有几种可能。

    // 题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/17873

 

输入描述:

    第一行两个整数n, m,
    接下来一行n个整数表示a1,a2,..., an, 1≤n≤100

    1≤m,a1,a2,..., an≤1000000000

输出描述:

    输出一个整数表示答案

样例

 输入

3 6
6 4 8

 输出

3

分析

    由于结果对m取模，那么计数器的最大计数范围为0~m-1。

    通过找规律，可以发现当ai中出现1时或这些数的最大公约数为1时，我们可以让计数器实现加1运算，那么结果即为m。

    进一步可以发现，结果就是m除以最大公约数。

    事实上，由贝祖定理（扩展欧几里得算法就是求解其中的a,b)

若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd(a,b)。

    对于a1,a2,..., an，我们求得他们的最大公约数为g, 则计数器可以累加得到g, 2*g， 3*g, ..., k*g。

    故答案为m/g。

 

    一发交上去，跑了几秒钟牛客网返回通过96%的正确率。。。

     所以问题出在哪里呢？

 

    思索半天发现大概是n==1时要特判，这是利用上面算法转化到的根本问题，即下面的数学问题：

给定a与m， {k*a %m, k=0,1,2...}的集合大小。

    跟前面类似，k*a%m可能的结果种类为 m / gcd(a,m)

    于是，我们把m加入进来，只需要求m，a1，a2, ...，an的最大公约数g，m / g即为计数器的全部计数状态。

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}
 
int main() {
     
    ll n, m, ans, ai;
    cin>>n>>m;
    ans = m;
     
    while(n--) {
        scanf("%lld", &ai);
    //    if(ans!=1)
            ans = gcd(ans, ai);
    }
     
    printf("%lld\n", m/ans);
}

 

---

 

（完）