COGS 2421.[HZOI 2016]简单的Treap 题解
题目大意:
给定n个数及其优先级,求对应的符合最小堆性质的Treap的先序遍历。
n<=500000。
解法:
目前为止我只想到了三种解法,其中第三种是正解。
1.暴力1
以优先级为关键字排序,然后按顺序构建BST即可。注意不能加平衡,因为这样会改变树的先序遍历。
期望复杂度O(nlogn)(排序和构建),考虑极端情况下树可能是一个链,最坏情况复杂度O(n2)。
2.暴力2
直接构建Treap,但遇到是链的情况仍然是O(n2)。
考虑将节点顺序打乱后进行建树,常数大大减小,但由于链状树的深度为n,最坏情况仍然O(n2)(这个复杂度是达哥提出的,不知道对不对)。
3.RMQ+分治
考虑以数大小为关键字排序,那么显然排序后一个点的左子树就在它的左边,右子树就在它右边,而对于一个区间[l,r],显然它对应的子树的树根就是区间中优先级最小的点,这样就转化为了RMQ问题。
具体做法:
1.把元素按数的大小排序,用Sparse-Table算法预处理RMQ。
2.初始区间为[1,n],每次从区间中选出优先级最小的点作为子树的根,递归建左子树和右子树(虽然实现过程中并不用真的建树)。
由于每个点都被选作树根并往下递归一次,而Sparse-Table的查询是O(1)的,因此总复杂度为O(nlogn)(排序),如果使用线性排序则可以降到O(n)。
后记:
这个题也是一时脑洞的产物,主要是受蓝书中Treap唯一这句话的启发,因此出了这么一道题。
这道题的解法也是一时脑洞,不过确实不错,值得借鉴。
其实一开始本来想卡暴力,发现标程最后两个点要跑1s多一点点,因此时限开的1.5s,这下暴力1就有了80分,至于暴力2,估计是卡不住的了。
最近出题不少,估计是要发扬ad神犇的优良传统了。
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