UVA 374 big mod（整数快速幂取模）

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=24&problem=310&mosmsg=Submission+received+with+ID+12203932

这题是整数快速幂取模的模板题，主要就是用二进制把幂分成二进制数，然后算出相对应上的二进制的0和1，进而可以确定是否要乘进结果里面

快速求正整数次幂，当然不能直接死乘。举个例子：

3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3

直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做，先求出2^k次幂：

3 ^ 2 = 3 * 3 3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) 3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4) 3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8) 3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16) 3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32) 3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64) 3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128) 3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)

再相乘：

3 ^ 999 = 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1) = (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3

这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多（尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话）。

我们发现，把999转为2进制数：1111100111，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法（其中mod是模运算）：

 

REVERSE_BINARY(n)

1 while (n > 0)

2     do output (n mod 2)

3       n ← n / 2

 

这个算法给出正整数n的反向二制进位，如6就给出011（6的二进制表示为110）。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的，只要把其中的2换成p就可以了。

如何把它改编为求幂运算？我们发现这个算法是从低位向高位做的，而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算（参看前面的例子）。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算，这就提示我们并不把所有的中间结果保存下来，而是在计算出它们后就立即运算。于是，我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算，并在n减少的同时不断地累积求2^k次幂。

还是看算法吧：

 

POWER_INTEGER(x, n)

1 pow ← 1

2 while (n > 0)

3     do if (n mod 2 = 1)

4            then pow ← pow * x

5       x ← x * x

6       n ← n / 2

7 return pow

 

不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1，在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句，不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂，如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。

相对应的取模只要加在乘的后面就可以了

#include<stdio.h>
long long mod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long pow=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
        pow=pow*a%p;
        a=a*a%p;
        b/=2;
    }
    return pow;
}
int main()
{ 
    long long a,b,p;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p)!=EOF)
    printf("%lld\n",mod(a,b,p));
    return 0; 
}