0/1背包问题

题目

　　有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路

    首先假设物品数 N = 6，容量 V = 10。

    容量数组 c 为:

c[0]	c[1]	c[2]	c[3]	c[4]	c[5]
4	3	2	3	2	4

    价值数组 w 为：

w[0]	w[1]	w[2]	w[3]	w[4]	w[5]
12	9	14	6	8	13

    每种物品可以选择放或者不放。对于“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]] 再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。用子问题定义状态：即 f[i][v] 表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v] = max{   f[i-1][v]  ,   f[i-1][v-c[i]]+w[i]  }。

 

    以下模拟二维数组 f[i][v] 状态：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	12	12	12	12	12	12	12
1	0	0	9	12	12	12	21	21	21	21
2	0	14	14	14	23	26	26	26	35	35
3	0	14	14	14	23	26	26	29	35	35
4	0	14	14	22	23	26	31	34	35	37
5	0	14	14	22	23	27	31	35	36	39

     首先从 i = 0 开始，得出 f[0] 数组。接下来根据状态转移方程，一步步的计算出 f[1],f[2] 直到 f[5]。我们根据方程，发现 f[0] 只是在计算 f[1] 的过程中使用，后面的过程不再读取数据。这说明空间可以进一步压缩。 即可以使用 一维数组 f 。来实现整个过程。

 

 

代码

#include <stdio.h>

#define N  6
#define V  10

int c[6] = {4,3,2,3,2,4};
int w[6] = {12,9,14,6,8,13};

void knapsack()
{
    int f[11];
    int i,j,tmp;
    for(i = 0; i < V + 1 ; i++)
    f[i] = 0;
    for(i = 0; i < N; i++)
    {
        for(j = V+1; j >= c[i];j--)
        {
            tmp = f[j - c[i]] + w[i];
            if(tmp > f[j])
                f[j] = tmp;
        }
    }
    for(i = 0;i <= V; i++)
        printf("%d\t",f[i]);
}

int main(){
    knapsack();
    return 0;
}