斐波那契额数列及青蛙跳台阶问题

 

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。

 斐波那契（Fibonacci）数列定义如下：

效率很低的解法：

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

 

改进的算法：从下往上计算。首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是o(n)。实现代码如下：

long long Fibonacci(unsigned n)
{
	int result[2] = {0 , 1};
	if(n < 2)
		return result[n];

	long long fibMinusOne = 1;
	long long fibMinusTwo = 0;
	for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i)
	{
		fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;

		fibMinusTwo = fibMinusOne;
		fibMinusOne = fibN;
	}
	
	return fibN;
}

 

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 

可以把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此，n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，不难看出这实际上就是斐波那契数列了。

#include<iostream>
using namespace std;

 long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

int main()
{
    int n;
	cin>>n;
	cout<<Fibonacci_Solution1(n)<<endl;
   
   return 0;
}

 

 在青蛙跳台阶的问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。。。。。它也可以跳上n级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

用数学归纳法可以证明f(n)=2^n-1.