判断是否是2的N次方——证明x & (x - 1)==0的正确性

  判断一个整数x是否是2的N次方。

  方法之一是判断x & (x - 1)==0。若为True,则x是2的N次方;若为False,则x不是2的N次方。

  有人质疑,他证明了“2的n次方一定符合这个条件”, 却并没有证明“符合这个条件的一定是2的n次方”呀!更没有证明“不符合条件的一定不是2的n次方”呀。

  

  现在,从两个方面来证明这个方法的正确性

  证明之前,先给出一些定义

  &运算的定义:A & B 表示将A和B转化为二进制,然后按照对位&运算。

  例如:17 & 9

    100012  =1710

  &     1012   =910

  ------------------------

    000012   =110

  而对位&运算的定义如下:

  1 & 1=1  ;  1 & 0=0  ;  0 & 1=0  ;  0 & 0=0

  对位&运算还有如下性质:

  A & 1=A  ;  A & 0=0  ;  A & A=A  ;  A & B=B & A  此时:A,B=0或1

  

  定义:

  X=x1x2……xn-1xn,其中xi=1或0,1≤i≤n,n>0。显然X>0(当X≤0,没有讨论的意义)

  给定正整数X,X是2的N次方的充要条件是X转化成二进制后,有且只能有一个1,其余的都是0

  也就是说,若X是2的N次方,则x1=1,x2=……=xn-1=xn=0

       若X不是2的N次方,则至少存在一个j,xj=1,1<j≤n

  

  先证明“2的N次方符合X & (X - 1)==0条件”

  当X=1时,1 & 0 =0,满足条件

  当X>1时,且X是2的N次方

  如定义:X=100……0  (n-1个0,n>1)

      X-1=11……1  (n-1个1,n>1)

  则X & X-1是

     100……02  =X10      

  &     11……12  =X-110

  ------------------------

      00……02  =010

 

  满足条件 

 

  再证明“不是2的N次方不符合X & (X - 1)==0条件”

  分两种情况,

  1、X是奇数,则X=x1x2……xn-1xn,x1=xn=1,故X=1x1x2……xn-11

    则X-1=1x2……xn-10

    则X & X-1是

     1x2x3……xn-112  =X10      

  &     1x2x3……xn-102  =X-110

  ------------------------------------

     1x2x3……xn-102   ≠010

     不满足X & (X - 1)==0的条件

  2、X是偶数,则X=x1x2……xn-1xn,x1=1,xn=0

    由于X不是2的N次方,因此x1,x2……xn-1中至少有两个为1。设xj是最右边的1

    则X=1x2……xj-1xj0……0=1x2……xj-110……0   1<j<n,最右边有n-j个0

    则X-1=1x2……xj-101……1           1<j<n,最右边有n-j个1

    则X & X-1

     1x2……xj-110……02  =X10      

  &     1x2……xj-101……12  =X-110

  --------------------------------------

     1x2……xj-100……02   ≠010

    不满足X & (X - 1)==0的条件  

  综上所述,当X不是2的N次方的时候,是不满足X & (X - 1)==0的条件的

 

  因此,当X是2的N次方的时候X & (X - 1)==0成立,当X不是2的N次方的时候X & (X - 1)==0不成立。

 

  故判断X(X>0)是否是2的N次方的方法,判断X & (X - 1)==0是否成立,是可行的。

 

posted @ 2011-03-04 10:25 万仓一黍 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏