砝码设计-数论

题目描述 Description

　　设有一个没有刻度的天平，可以用来称量

　　任务一：设计n个砝码的重量，用它们能称出尽可能多的连续整数重量。例如n=2时，设计两个砝码的重量分别为1和3，可称重为1、2、3、4的连续重量。

　　任务二：给出一个重量x(一定能在上面的最优方案下的n个砝码称出)，试给出称出x的方案。如在上例中，要称出x=2的方案，方法为2+1：3；称出x=4的方案，方法为：4:1+3，称出x=1的方案为1:1.注意物体放在左边。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
键盘输入一行，包括两个数n和x，中间用一个空格隔开。
输出格式：
屏幕输出两行，一行为n个砝码的重量（从小到大，每个数之间用一个逗号隔开），第二行为称出x的方案。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例：

2 2
输出样例：

1,3

2+1:3

样例测试点#2

输入样例：

2 4
输出样例：

1,3

4:1+3

 

思路：
①从这题的任务一中不难推导：当n=1时，砝码最优解为1；当n=2时，砝码最优解为1、3；当n=3时，砝码最优解为1、3、9，通过三个例子，我们大概可以得到这样一个结论：砝码的最优解与n有很紧密的相关性，砝码重量为3的0到n-1次方，接下来就用实践检验这个结论。

②由于我们的砝码只有n个，并且重量为3的0到n-1次方，所以x必然要用这些砝码表示，不与其他数字有关，并且只能用这些砝码的和或差表示，例如7=1+9-3；2=3-1。当初我最初的想法是用DFS，搜索完每一个砝码，判断是用减号还是加号，最后记录最优解，但由于这题数据范围不确定，n太大了肯定会超时，况且这和数论关系不大，所以必须要想一个简单点的方法。

③通过观察可以发现，当x除以3时，如果余数是1，意味着要在砝码盘放上1这个砝码；当x除以3时，如果余数是2，意味着要在物盘放上1这个砝码；如果除以3余数为0，就不用放1这个砝码。同理，把x除以3后四舍五入后再除以3，根据余数判断3这个砝码的位置；再把x除以3后四舍五入再除以3后更加余数判断9这个砝码的位置，以此类推…

代码如下：

 

#include <stdio.h>
int main()
{
    int A[10],B[10];
    int n,x;//n个砝码，要称重量x 
    int i,j;//循环兄弟 
    int s;//备份用变量 
    bool first;
    scanf("%d%d",&n,&x);
    printf("%d",A[0]=1);//无论n为何值,第一个砝码必定为1
    /*===================================================*///解决任务一 
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        printf(",%d",A[i]=A[i-1]*3);
        printf("\n");
    }
    /*===================================================*/
    s=x;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if((s+A[i])%A[i+1]==0)
        {
            B[i]=1;
            s=s+A[i];
            continue;
        }
        if((s-A[i])%A[i+1]==0)
        {
            B[i]=-1;
            s=s-A[i];
            continue;
        }
        A[i]=0;
    }
    printf("%d",x);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(B[i]>0) 
        {
            printf("+%d",A[i]);
        }
    }
    printf(":");
    first=true;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(B[i]<0)
        {
            if(!first)
            {
                printf("+");
            }
            printf("%d",A[i]);
            first=false;
        } 
    }
    printf("\n");
    return 0;
}