定理

设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，则

\[|\lambda I-A|= \lambda^n + b_1\lambda^{n-1} +\cdots+b_{n-1}\lambda + b_n \]

其中， \(b_j=(-1)^j\sum (A的j阶主子式)\).
特别地，\(b_1=-\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\), \(b_n=(-1)^n|A|\).

矩阵的迹

定义：设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，称 \(\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\) 为 \(A\) 的迹，记为 \(tr(A)\).

命题：若 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) 的特征值为 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)，则

\[tr(A)=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \\ |A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i \]

证明：根据特征值是特征多项式的为 \(0\) 时的根，有 \(|\lambda I-A|=(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots (\lambda - \lambda_n)\)，和上面定理比较，即可得到该命题。

说明：从上面定义可以看出，方阵的迹的定义和计算都相当简单，直接把对角线元素相加即可；另外如果知道所有特征值，也可以把所有特征值相加，从而得到结果。

题目

设 \(\alpha=(a_1,\cdots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,\cdots,b_n)\)，\(A=\alpha\beta^H\)。求 \(A\) 的特征值。

解答

由于 \(rank(A)\le min(rand(\alpha),rank(\beta))\)（参见有关矩阵的秩的不等式)，即 \(rank(A)\le 1\)，则 \(A\) 的大于 \(2\) 阶的主子式的行列式都为 \(0\)。因此，根据定理，可以得出：

\[|\lambda I-A|=\lambda^n-(trA)\lambda^{n-1} = \lambda^{n-1}(\lambda - <\alpha,\beta>) \]

如果 \(<\alpha,\beta>=0\)，则 \(A\) 的特征值为 \(0\)；
如果 \(<\alpha,\beta>\ne 0\)，则 \(A\) 的特征值为 \(0\) 和 \(<\alpha,\beta>\).