洛谷P2148 [SDOI2009]E&D(博弈论)

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先安利蒟蒻仍在施工的博弈论总结

首先根据题目,石子被两两分组了,于是根据SG定理,我们只要求出每一组的SG值再全部异或起来就好啦。

把每一对数看成一个ICG,首先,我们尝试构造游戏的状态转移DAG。把一堆石子拿掉,另一堆任意拆成两堆,等于说由状态\((a,b)\)可以转移到\(\{(c,d),c+d=a\)\(c+d=b\}\)

一眼看不出来这是要干神马。。。。。。然后开始打表。其实打表的方式可以更简单。首先,观察上式,对于每一个a,所有\(c+d=a\)\((c,d)\)\(SG\)值集合我们可以先用一个bitset存起来,这样当我们求\((a,b)\)\(SG\)值时我们直接将\(a\)\(b\)对应的两个集合并起来再求\(mex\)就好啦。于是得到了打表代码(bitset实在是太好用啦)

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=10,M=N+1;//随便调大小
typedef bitset<M> B;
B s[M];
int ans[M][M];
inline int mex(B b){//干什么就不解释了吧
	int i=0;
	while(b[i])++i;
	return i;
}
int main(){
	int i,j,k;
	for(i=2;i<=N;++i)
		for(j=1,k=i-1;k;++j,--k)
			s[i].set(ans[j][k]=mex(s[j]|s[k]));//枚举合并
	for(i=0;i<N;++i)printf("%3d",i);puts("");
	for(i=1;i<N;++i){//输出矩阵
		printf("%2d:",i);
		for(j=1;i+j<=N;++j)
			printf("%3d",ans[i][j]);
		puts("");
	}
	for(i=1;i<=N;++i){//输出对于每一个a,所有c+d=a的(c,d)的SG值集合
		printf("%2d:SG%d ",i,mex(s[i]));
		cout<<s[i]<<endl;
	}
	return 0;
}

打出来的答案矩阵

 0:  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 1:  0  1  0  2  0  1  0  3  0
 2:  1  1  2  2  1  1  3  3
 3:  0  2  0  2  0  3  0
 4:  2  2  2  2  3  3
 5:  0  1  0  3  0
 6:  1  1  3  3
 7:  0  3  0
 8:  3  3
 9:  0

怎么看也没看出什么特别的地方

但接着看看对于每一个\(a\),所有\(c+d=a\)\((c,d)\)的SG值集合

 1:SG0 00000000000
 2:SG1 00000000001
 3:SG0 00000000010
 4:SG2 00000000011
 5:SG0 00000000100
 6:SG1 00000000101
 7:SG0 00000000110
 8:SG3 00000000111
 9:SG0 00000001000
10:SG1 00000001001

诶,\(S_i\)等于\(i-1\)的二进制表示!!(我太弱了,不会证)

那对于询问的每一对数\((i,j)\),直接求\((i-1)\mid(j-1)\)(按位或)的二进制的最低的0所在的二进制位,把所有的异或起来就好啦

代码应该很好懂啊,直接位运算搞一搞就行啦

#include<cstdio>
#define R register int
const int SZ=1<<21;
char ibuf[SZ],*pi=ibuf-1;
inline int in(){
	while(*++pi<'-');
	R x=*pi&15;
	while(*++pi>'-')x*=10,x+=*pi&15;
	return x;
}
int main(){
    fread(ibuf,1,SZ,stdin);
	R T=in(),n,x,cnt,ans;
	while(T--){
		ans=0;
		n=in()>>1;
		while(n--){
			cnt=0;
			x=(in()-1)|(in()-1);
			while(x&1)++cnt,x>>=1;
			ans^=cnt;
		}
		puts(ans?"YES":"NO");
	}
	return 0;
}
posted @ 2018-04-13 17:50  Flash_Hu  阅读(495)  评论(0编辑  收藏  举报