和式
一、记号
- 用求和记号可以很好地将很长的式子变为一个较短的式子。
\[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{i=1}^n a_i
\]
- \(\sum\) 下面是下界，上面是求和的上界。上面的式子也可以这样写：
\[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{1 \le i \le n} a_i
\]
-
这样的式子迭代性很强，可以多重求和： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_i+b_j\Big)\)
-
假设要算100内奇数平方的和，可以这样写： \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k^2\ [k为奇数]\) （隐式表达）
也可以这样： \(\displaystyle\sum_{k=0}^{49}(2k+1)^2\) （显示表达） -
\([P(i)]\)，表示一个判断条件。
\[[P(i)]=\begin{cases} 1 &P(i)成立 \\ 0 &P(i)不成立 \end{cases}\]例如 \(\sum_d [n|d]\) 表示\(n\)的因数个数。
也就是说和式的条件也可以写在里面：
\[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_i a_i[1 \le i \le n] \]
二、和式的计算
- 分配律： \(\displaystyle\sum_i a_i\times b=b\times\sum_i a_i\)
- 结合律： \(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i=\sum_{i=1}^n a_i+b_i\)
- 广义分配律： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_jf(i)g(j)[P(i)][Q(j)]\Big)=\Big(\sum_i f(i)[P(i)]\Big)\Big(\sum_j g(j)[Q(j)]\Big)\)
- 交换求和顺序： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_{i,j}[P(i,j)]\Big)=\sum_j\Big(\sum_ia_{i,j}[P(i,j)]\Big)\)
三、应用
求 \(\displaystyle\sum_{1\le j<k\le n}{1\over k-j}\) 的值？
\(\begin{aligned}
解：原式&=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=j+1}^n{1\over k-j}\Big) \\
&=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k-j=1}^{n-j}{1\over k-j}\Big) \\
&=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=1}^{n-j}{1\over k}\Big) \\
&=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{j=1}^{n-k}{1\over k}\Big) \\
&=\sum_{k=1}^{n}\Big({1\over k}\sum_{j=1}^{n-k}1\Big) \\
&=\sum_{k=1}^{n}{1\over k}(n-k) \\
&=n\sum_{k=1}^{n}{1\over k}-1 \\
\end{aligned}\)
简单的运算把两重循环变为了一重循环，很好的降低了时间复杂度。
