全排列问题

全排列问题定义：

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(Sequence,Arrangement, Permutation)。

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。这是在排列数公式中，m=n，即有：

Aⁿ_n=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1

 

举例：

输入：
1 2 3



输出：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2

设R=｛r₁,r₂,r₃...r_n｝是要进行排列的n个元素，R_i=R-{r_i}.集合X中元素的全排列记为Perm(X)。(r_i)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀r_i得到的排列。R的全排列可归纳定义如下_：

当 n = 1时，Perm(R) = (r) ,其中r是集合R中唯一的元素；

当 n > 1时，Perm(R)由（ri)Perm(R1)，（r₂）Perm(R₂)....（r_n）Perm(R_n)构成。

依次递归定义，可设计产生Perm(R)的递归算法如下

 

void swap(int &a,int &b)
{
    int c;
    c=a;
    a=b;
    b=c;
}
void Perm(int a[],int k,int m)
{//产生a[k:m]的所有排列
    if(k==m)
    {   //只剩下1个元素
        for(int i=0; i<=k; i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    else//还有多个元素待排列，递归产生排列。
    {
        for(int i=k; i<=m; i++)
        {
            swap(a[i],a[k]); //替换
            Perm(a,k+1,m);
            swap(a[i],a[k]);//恢复
        }
    }
}

 

算法Perm(list,k,m) 递归地产生所有前缀是list[0;k-1],且后缀是list[k;m]的全排列的所有排列。函数调用Perm(list,0,n-1)，则产生list[0:n-1]的全排列。

在一般情况下，k<m.算法将list[k:m]中的每一个元素分别与list[k]中的元素交换。然后递归地计算list[k+1:m]的全排列，并将计算结果作为list[0:k]的后缀。算法中swap是调用于交换两个变量值的函数。