【计算几何】线段相交

问题描述:已知两条线段P1P2和Q1Q2,判断P1P2和Q1Q2是否相交,若相交,求出交点。

两条线段的位置关系可以分为三类:有重合部分、无重合部分但有交点、无交点。

算法的步骤如下:

1.快速排斥实验。

设以线段P1P2为对角线的矩形为R,设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T,如果R和T不相交,则两线段不相交。

2.跨立实验。

如果两线段相交,则两线段必然相互跨立对方。

若P1P2跨立Q1Q2,则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧,即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

若Q1Q2跨立P1P2,则矢量(Q1-P1)和(Q2-P1)位于矢量(P2-P1)的两侧,即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。

排斥实验和跨立实验的示例如下图所示。

 

3.计算交点。

当判定两条线段相交后,可以进行交点的求解,求交点可以用平面几何方法,列点斜式方程来完成。但由于点斜式方程难以处理斜率为0的特殊情况,不方便求解。因而,参用向量法求解交点。

设交点为(x0,y0),则下列方程组成立:

根据以上方程组,消除参数k1和k2,得到如下方程:

然后求解(x0,y0),结果如下所示:

 1 typedef struct Point
 2 {
 3     int x;
 4     int y;
 5 }Point;
 6 //排斥实验
 7 bool IsRectCross(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2)
 8 {
 9     bool ret = min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x)    &&
10                 min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&
11                 min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&
12                 min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);
13     return ret;
14 }
15 //跨立判断
16 bool IsLineSegmentCross(const Point &pFirst1,const Point &pFirst2,const Point &pSecond1,const Point &pSecond2)
17 {
18     long line1,line2;
19     line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
20         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +
21         pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
22     line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +
23         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) + 
24         pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
25     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
26         return false;
27 
28     line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +
29         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +
30         pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
31     line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) + 
32         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
33         pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
34     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
35         return false;
36     return true;
37 }
38 
39 bool GetCrossPoint(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2,long &x,long &y)
40 {
41     if(IsRectCross(p1,p2,q1,q2))
42     {
43         if (IsLineSegmentCross(p1,p2,q1,q2))
44         {
45             //求交点
46             long tmpLeft,tmpRight;
47             tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);
48             tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);
49 
50             x = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);
51 
52             tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);
53             tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y); 
54             y = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);
55             return true;
56         }
57     }
58     return false;
59 }

 

 

posted @ 2013-08-01 17:09 一点心青 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏