HUD 1257 最少拦截系统 / HDU 2084 数塔 (DP)
这个星期进入DP专题。
先是基本概念。。（摘抄课件，我自重= =）
动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决某一类问题的一种方法，是分析问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因此，在学习动态规划时，除了对基本概念和方法正确地理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
动态规划三要素：阶段，状态，决策。
动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？
一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：
¢最优子结构（最优化原理）当前状态是前面状态的完美总结
¢无后效性什么是无后效性呢？
就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N,而求状态N时有用到了状态i
解决动态规划问题的一般思路
(1）模型匹配法：
最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。
(2）三要素法
仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同：
先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告）
先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告）
(3）寻找规律法
(4）边界条件法
找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。
(5）放宽约束和增加约束
这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。
HDU两道典型例题。
先是简单的一维状态。比如HDU 1257，导弹拦截问题。
如果把题目换成“求最多能拦截的导弹数目”，那这道题就变得显而易见，求最长下降子序列类型DP。
很容易想到一个复杂度为n^2的方法，状态转移方程：
opt[i] = max{opt[j]+1, opt[i]} (0 <= j < i, aj >= ai)
很自然想到，既然求得了最长下降子序列，那是不是求出有几组这样的序列，输出组数就是答案了呢？
偏偏这样做是Wrong Answer。举出反例：
设导弹高度为：6 1 7 3 2
根据最初的方法求得，最长下降序列为：6 3 2/1/7，也即需要3套系统。但真正的答案是6 1/7 3 2，2套就够了！
换个思路。每个导弹都要拦截，每发射一发拦截炮弹，下一次发射高度不能超过上一发，也就是这套系统无法拦截比上一发炮弹高度更高的导弹。如此，考虑“最长上升子序列”。有点类似找父节点，最终答案就是最长上升子序列长度。（状态转移方程稍作改动即可）
完整代码
1 /*
2 最长上升子序列(一维形式DP)
3 opt[i]=max(opt[j])+1, opt[i]) (0<=j<i 且num[j]<=num[i]) {最长非下降序列}
4 opt[i]=max(opt[j])+1, opt[i]) (0<=j<i 且num[j]>num[i]) {最长下降序列}
5 该算法复杂度为O(n^2)
6 */
7 #include <iostream>
8 using namespace std;
9
10 int num[30005], len[30005];
11
12 int main()
13 {
14 int m;
15 while(cin >> m) {
16 int ans = 0;
17 for(int i = 0; i < m; i++) {
18 cin >> num[i];
19 len[i] = 1;
20 }
21 for(int i = 0; i < m; i++) {
22 for(int j = 0; j < i; j++) {
23 if(num[i] > num[j]) {
24 len[i] = max(len[j] + 1, len[i]);
25 ans = max(ans, len[i]);
26 }
27 }
28 }
29 cout << ans << endl;
30 }
31 return 0;
32 }
然后是二维状态的。HDU 2084，数塔
这道题有个特点，从上到下分析，从下至上计算。不要被二维吓到，对于towel[i][j]，我们用 i,j 表示当前数的坐标。
从下至上计算时，我们需要将当前数加上它的下一层左右两边的最大数，得状态转移方程：
towel[i][j] = max(towel[i + 1][j], towel[i + 1][j + 1]) + towel[i][j];
那么计算到最后，towel[0][0]就是答案。
（详细分析过程可以参考一下其他教程）
完整代码
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 int towel[100][100];
5
6 int main()
7 {
8 int t;
9 cin >> t;
10 while(t--) {
11 int n;
12 cin >> n;
13 for(int i = 0; i < n; i++)
14 for(int j = 0; j <= i; j++)
15 cin >> towel[i][j];
16 for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
17 for(int j = 0; j <= i; j++)
18 towel[i][j] = max(towel[i + 1][j], towel[i + 1][j + 1]) + towel[i][j];
19 cout << towel[0][0] << endl;
20 }
21 return 0;
22 }
