流体中的应力张量

1 面上的应力分布

我们在描述一个面上力的分布时，通常使用的是应力的概念。某个位置的应力，表示包含这个位置点的无限小面积上的单位面积力。

如果用数学极限的形式进行描述，就是：

\[{\bf{T}} = \mathop {\lim }\limits_{\delta A \to 0} \frac{{\delta {\bf{F}}}}{{\delta A}}\]

流体中也是如此，对于一个给定的面，我们可以用应力描述面上的应力分布。

2 一点的应力描述

如果我们想去描述流体空间区域的应力分布，而不是一个给定面的应力，我们就需要考虑一个点上的应力问题。

上面这个应力的数学定义是依赖于所取的面的，也就是说，只给一个点，而不指定点所在的面，是没有办法确定应力的。

在流体中，我们可以通过力的平衡证明一个结论：我们只要知道过一个空间位置点的三个任意正交面上的应力，那么过这个空间位置点的任意一个面上的应力我们就能写成：

\[{{\bf{T}}_n} = {{\bf{{\rm T}}}_1}{n_1} + {{\bf{T}}_2}{n_2} + {{\bf{T}}_3}{n_3},{\bf{n}} = ({n_1},{n_2},{n_3})\]

矢量${\bf{n}}$，是任意面的法向量。$({n_1},{n_2},{n_3})$，是这个法向量在三个正交面方向上投影出的三个分量。

3 一点的应力张量

过一点三个正交面上的应力，可以用来描述过这一点的任意一个面的应力。

换句话说，这三个应力矢量$({{\bf{T}}_1},{{\bf{T}}_2},{{\bf{T}}_3})$决定了这一点上的应力状态。

有了这个三个应力状态矢量，结合任意面的法向量就可以确实任意面上的应力。我们可以把这三个应力矢量和任意面上的应力矢量都写成分量的形式：

\[\left( \begin{array}{l}
{T_{{\bf{n}}1}}\\
{T_{{\bf{n}}2}}\\
{T_{{\bf{n}}3}}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
{T_{11}},{T_{21}},{T_{31}}\\
{T_{12}},{T_{22}},{T_{32}}\\
{T_{13}},{T_{23}},{T_{33}}
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
{n_1}\\
{n_2}\\
{n_3}
\end{array} \right)\]

以上的关系，可以按照张量的运算写成：

\[{T_{\bf{n}}}_i = {T_{ji}}{n_j}(or,{T_{\bf{n}}}_j = {T_{ij}}{n_i})\]

这里的${\bf{n}}$并非向量中的自由标，仅仅表示法向为${\bf{n}}$的面。

这个由三个决定一点应力状态的矢量组成的新物理量${\bf{T}} = \{ {T_{ij}}\} $，就是流体中的应力张量。

根据流体微团的力矩分析，可以得到流体应力张量的一个重要特性：应力张量是对称张量。