可微与连续

连续性的定义

简洁的表达.

• \(y = f(x)\)在\(x_0\)的邻域内满足\(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\), 则它在\(x_0\)处是连续的.
• 或\(\lim_{x \to x_0^+}f(x) = \lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)\)
• 若\(x\)为多元向量, 则\(f(x)\)对应于多元函数, 它的连续性定义也是这个形式.

可微的定义

• 若\(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\), 其中\(A\)是一个与\(x\)无关的常数, \(o(\Delta x)\)是\(\Delta x \to 0\)时的无穷小, 则称\(y = f(x)\)在\(x\)处是可微的.
• \(dy = A \Delta x\)称为\(y\)的微分.
• 若\(x\)为多元向量, 则\(f(x)\)对应于多元函数, 它的(全)微分定义也是这个形式.

可微必连续, 连续不一定可微

可微是连续的一种特殊形式: 对连续来说, \(A\)不一定是一个常数, 在\(x^+, x^-\)两个方向上可以不相等, 即, 不是一个常数.
这一点无论是对单元函数还是多元函数都是成立的.