UVALive 6177 The King’s Ups and Downs

题目链接 http://acm.sdibt.edu.cn/vjudge/ojFiles/uvalive/pdf/61/6177.pdf

题意是  给定一个数n，代表着一共有n个人，且他们的身高从1到n。 要求让这n个人站成一行，使得身高的排列呈波浪形，比如低高低或者高低高。

 

注意：n = 1 ,  ans = 1;

 　　   n = 2 ,  ans = 2;

 

动态规划。

 

解题思路： 每次新加入的点k，可以看成将之前的序列分成前后两部分，并且因为 k是最大的，所以要求k前面数的趋势应该是高低，k后面的趋势应该是底高。这样加入k后的排列数，就是前后可行排列方法数的乘积。 枚举k插入的位置i，以及乘上组合数c(k,i)，表示从k个数里面取i个数的取法。

那么怎么计算前后可行排列的方法数呢？ 经过推导后，可以证明，前面和后面的方法数是相同的，所以假设用dp[n][0]表示前n个数中以高低为结尾的方法数，dp[n][1]表示前n个数中以底高为开始的方法数,ans[n]表示n个人的时候的方法数，可得 dp[n][0] = dp[n][1] = ans[n] / 2;

dp[i][0]表示i个数中，以高低为结尾的方案数。从n个数里面选i个，每一种组合都可以映射为0,1, ... i。而对于映射后的序列有dp[i][0]种排列，是以高低为结尾。所以插入位置k的前面有dp[i][0] * c(n - 1, i)种可能。又因为为前面选出i个数后，剩下的数就是要放在后面的数，这些数有dp[n - i - 1][1]种以低高开头的排列，所以再乘dp[n-i-1][1]。综上，插入位置k的可能数为dp[i][1] * dp[n-i-1][1] * c(n,i).

 

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const double pi=acos(-1.0);
const double e=exp(1);
const int N = 100009;

LL a[25];
LL c[25][25];
LL sta[25][3],ans[25];

void init_c()
{
    LL i,p,j;
    LL x = 1;
    for(i = 1; i <= 20; i++)
    {
        x *= i;
        a[i] = x;
    }
    a[0] = 1;

    for(i = 1; i <= 20; i++)
    {
        for(j = 0; j <= i; j++)
        {
            c[i][j] = a[i] / a[j] / a[i - j];
        }
    }
}


void init_tab()
{
    LL i,p,j;

    sta[0][0] = sta[0][1] = 1;  //特判 k 插在第一位和最后一位的情况
    ans[1] = 1;
    sta[1][0] = sta[1][1] = 1;  //特判 n = 1时，既可以看成是开始为底高的方法数也可以看成是高低的方法数。  

    for(i = 2; i <= 20; i++)
    {
        for(j = 0; j <= i - 1; j++)
        {
            ans[i] += sta[j][0] * sta[i - j - 1][1] * c[i - 1][j];
        }
        sta[i][0] = sta[i][1] = ans[i] / 2;
    }
}

int main()
{
    LL i,p,j,n,t;
    LL w;

    init_c();
    init_tab();

    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&w,&n);
        printf("%lld %lld\n",w,ans[n]);

    }
    return 0;
}