原根

定义

两种

1.对于一个数\(P,g^i≡1(mod \ P)\)的最小正整数\(i\)是\(φ(P)\)，那么就称\(g\)是\(P\)的原根
2.假设一个数\(g\)对于\(P\)来说是原根，那么\(g^i mod \ P\)的结果两两不同,且有 \(1<g<P, 1<i<P\)，那么\(g\)可以称为是\(P\)的一个原根

性质

• 一个数\(m\)如果有原根，则其原根个数为\(\varphi(\varphi(m))\)。特别地，对素数有\(\varphi(p)=p-1\)
• 有原根的数只有\(2,4,p^n,2*p^n\)(\(p\)为质数,\(n\)为正整数)
• 一个数的最小原根的大小是\(O(n^{0.25})\)的
• 如果\(g\)为\(n\)的原根，则\(g^d\)为\(n\)的原根的充要条件是\((d,φ(n))=1\)

求法

求模\(n\)原根的方法：对\(\varphi(n)\)素因子分解
\(\varphi(n)=\Pi_{i=1}^{k}{p_i}^{a_i}, p为质数\)
若恒有\(g^{\frac{\varphi(n)}{p_i}} \ne 1(mod \ n)\)成立，则\(g\)就是\(n\)的原根

求解的代码

你们不是会了吗(雾)