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波兰式、逆波兰式是《数据结构》课程中讲解关于栈的时候提到的,栈是很简单的一种数据结构。但是这些理论的提出却是计算机早期发展领域的重大突破,值得仔细回味。

1. 中缀表达式

我们在数学中学到的表达式被称为中缀表达式,操作符号在操作数中间,比如 2 + 3 * (5 - 1)。对人类而言,这种表达方式显而易见,求值也很直接,先算乘除再算加减,先算括号内再算括号外。

然而,这个表达式对于计算机而言却很费解。你可能会有疑问:这有什么难理解的嘛,在JavaScript、Python或者Ruby,甚至是Java里面都可以通过eval("2 + 3 * (5 - 1)")来计算这个表达式。当然,这里的计算机并不是指现而今强大的计算机和高级编程语言,而是指上个世纪中页还处于发展初期的计算机。

2. 前缀表达式

早在1920年,波兰科学家扬·武卡谢维奇就发明了一种不需要括号的表示法,可以用来表示一个计算表达式。即将操作符号写在操作数之前,也就是前缀表达式,即波兰式(Polish Notation, PN)。这种表达式直到1960年计算机出现后才发挥出其威力。

比如2 + 3 * (5 - 1)这个表达式的前缀表达式为+ 2 * 3 - 5 1来表示。

阅读这个表达式需要从左至右读入表达式,如果一个操作符后面跟着两个操作数时,则计算,然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数,重复此步骤,直至所有操作符处理完毕。从左往右依次读取,直到遇到- 5 1,做计算后,将表达式替换为+ 2 * 3 4,然后从左往右再次读取,直到遇到* 3 4,做计算后将表达式替换为+ 2 12,然后从左往右依次读取,读到+ 2 12,计算得到14,到此结束。

可以看到,这种计算过程也相当复杂,需要多次遍历表达式,而且需要识别一个操作符后面跟着两个操作数这种模式,相比而言,下文中的逆波兰式要更为直接和简单。

如果你熟悉各种编程语言的话,这很像Lisp语言中的表达式(如下代码)。需要注意的是,Lisp语言中的括号并不是数学意义上的的括号,Lisp中的函数是可以携带多个参数的,比如(+ 1 2 3),因此需要使用括号来标明函数参数。

Clojure1.5.1
user=>(+2(*3(-51)))14

3. 后缀表达式

后缀表达式也称为逆波兰式(Reverse Polish Notation, RPN),更加广为人知一些,和前缀表达式刚好相反,是将操作符号放置于操作数之后,比如2 + 3 * (5 - 1)用逆波兰式来表示则是:2 3 5 1 - * +

逆波兰式的计算也是从左往右依次读取,当读到操作符时,将之前的两个操作数做计算,然后替换这两个操作数和操作符,接着读取,重复此步骤。对于这个表达式,读到5 1 -,得到4,然后读取乘号,取出前面的3和上一步的计算结果4,并计算,到12,接着读取加号+,计算2 12 +得到14,计算结束。

上面这个步骤可以很容易的用栈来实现:

从左往右依次读取表达式,如果是数字则将该数字压栈,如果是符号,则将之前的两个数字出栈,做计算后,将计算结果压栈,直到表达式读取结束。栈中剩下的一个数就是计算结果。

逆波兰式看起来像波兰式反过来,比如5 + 1的波兰式是+ 5 1,逆波兰式为5 1 +或者1 5 +。也很明显,逆波兰式并不是简单的将波兰式反过来,因为,减法和除法中减数和被减数、除数与被除数是不能交换的,即- 10 5- 5 10就完全不一样。

4. 中缀表达式到后缀表达式的转换

因为通过后缀表达式来进行计算只需要一个栈即可,从硬件和软件上实现都是极为便利的,因此逆波兰式在计算机领域的应用更加广泛,因此将中缀表达式转换为逆波兰式非常重要。

依然仅仅使用栈就可以将中缀表达式转换成逆波兰式,转换过程如下:

从左往右遍历中缀表达式中的每个数字和符号,弱是数字就输出,成为逆波兰式的一部分; 如果是右括号,或者是其他符号并且比当前栈顶符号的优先级低,则栈顶元素依次出栈并输出; 然后将当前符号进栈,重复以上操作直到结束。

还是以2 + 3 * (5 - 1)为例:

  1. 首先读入数字2,直接将其输出,输出为2,栈为空
  2. 接着读入加号+,由于栈为空,因此将其进栈,输出为2,栈为+
  3. 接着读入数字3,直接将其输出,输出为2 3,栈为+
  4. 接着读入乘号*,比栈顶元素优先级高,进栈,输出为2 3,栈为+ *
  5. 读入左括号(,直接进栈,输出2 3,栈为+ * (
  6. 读入数字5,直接将其输出,输出为2 3 5,栈为+ * (
  7. 读入减号-,栈顶元素为左括号,进栈,输出为2 3 5,栈为+ * ( -
  8. 读入数字1,直接将其输出,输出为2 3 5 1,栈为+ * ( -
  9. 读入右括号,依次输出栈顶元素,直到左括号,括号不输出,输出2 3 5 1 -,栈为+ *
  10. 已经无元素可读,依次输出栈顶元素,直到栈为空,输出2 3 5 1 - * +,栈为空

这样可以仅仅使用栈,首先将中缀表达式转换为逆波兰式,然后用本文第3节中的方法对后缀表达式进行求值,整个过程使用栈来完成即可。

5. 表达式树与逆波兰式

还可以通过另外一种方法来将一个表达式转换成波兰式和逆波兰式,这种方法依赖与树,首先需要根据表达式构建成树,仍然以2 + 3 * (5 - 1)为例,下图是其表达式树。

表达式树

我们发现这个树的后序遍历结果为2 3 5 1 - * +,刚好是其逆波兰式;而其先序遍历结果为+ 2 * 3 - 5 1刚好为其波兰式;中序遍历就不用说了,就是我们常见的中缀表达式。我们也可以通过这种特性来实现表达式的各种表示方法的转换。

6. 参考

posted on 2014-04-20 03:56 刺猬的温驯 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏