如何判断一点在三角形内

 

假定在右手坐标系中的三角形3点坐标为A,B,C,判断P是否在ABC之内

 

( 主要来自 3D引擎研发QQ群(38224573 )的各位朋友的讨论 ,我仅仅算做个总结吧,特别感谢各位朋友的热情支持。 )

 

方法1:三个Perplane的方法

           设AB,BC,AC边上的垂直平面为Perplane[3],垂直朝向内侧的法向为n[3]

          1)先根据任意两边叉出法向N

               N = AB.CrossProduct(AC); 

               N.Normalize();

               D = A.DotProduct( N );

          2)如果P在三角形所在平面之外,可直接判定不在平面之内( 假定方程为 ax+by+cz+d = 0 )

               if( P.DotProduct( N ) + D > 0 ) return false; 

          3)然后法向和各边叉出垂直平面的法向

               n[0] = N.CrossProduct(AB); //朝向内侧

               n[0].Normalize();

               Perplane[0].dist = A.DotProduct(n[0]);

               Perplane[0].normal = n[0];

               同样方法求得Perplane[1],Perlane[2];

          3)因为三个Perplane都朝向三角形内侧,P在三角形内的条件是同时在三个Perplane前面;如果给定点P在任意一个垂直平面之后,那么可判定P在三角形外部

               for( int i = 0;i<3;j++ )

               {

                    if( P.DotProduct( Perplane[i].normal ) + Perplane[i].dist < 0 )

                         return false;

               }

               return true;//如果P没有在任意一条边的外面,可判断定在三角形之内,当然包括在边上的情况

 

方法2:三个部分面积与总面积相等的方法

 

          S(PAB) + S(PAC) + S( PBC) = S(ABC) 则判定在三角形之内

          用矢量代数方法计算三角形的面积为

               S = 1/2*|a|*|b|*sin(theta)

                  = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1-cos^2(theta))

                  = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1- (a.DotProduct(b)/(|a|*|b|))^2);

 

               另一种计算面积的方法是 S = 1/2*|a.CrossProduct(b)|

 

               比较一下,发现后者的精确度和效率都高于前者,因为前者需要开方和求矢量长度,矢量长度相当于一次点乘,三个点乘加一个开方,显然不如

               后者一次叉乘加一次矢量长度(注,一次叉乘计算相当于2次点乘,一次矢量长度计算相当于一次点乘),后者又对又快。

                

               S(ABC)  = AB.CrossProduct(AC);//*0.5;

               S(PAB)  = PA.CrossProduct(PB);//*0.5;

               S(PBC)  = PB.CrossProduct(PC);//*0.5;

               S(PAC)  = PC.CrossProduct(PA);//*0.5;

 

               if( S(PAB) + S(PBC) + S(PAC) == S(ABC)  )

                    return true;

               return false;

          

        另一种计算三角形面积的矢量方法是 1/2*a.CrossProdcuct(b) ,CrossProduct = ( y1*z2 - y2*z1 , x1*z2 - x2*z1, x1*y2 - x2*z1 )

               可以看到CrossProduct 的计算要比DotProduct多3个乘法计算,效率没有上面的方法高


方法3:三个向量归一化后相加为0

 

        这个方法很怪异,发现自http://flipcode.spaces.live.com/blog/cns!8e578e7901a88369!903.entry 下面的一个回帖

               
               

          如上图三角形ABC,P为AB外侧一点,N1,N2,N3 分别为BP,AP,CP的归一化矢量;NM为N1,N2夹角的角平分线

          可以看出角A-P-B是三角形内角,必然小于180度,那么角N1-P-N2等于A-P-B;NM是N1-P-N2的角平分线,那么角B-P-N等于角N-P-A,而CPN必然小于其中一个,

          即小于180/2 = 90度。结论是角N1,N2的合矢量方向与N3的夹角为锐角。所以N1,N2,N3的合向量模大于1.

          这里注意,N3不一定在N1,N2之间,不能假定N2-P-N3 和N3-P-N1这两个角一定是锐角

          同样可以推导出如果P在三角形内,N1+N2+N3必然小于0;若N1+N2+N3 = 0则P在三角形的边上。

          有没有更简单的推导方法?

          

          这个方法看起来很精巧,但是善于优化的朋友会立刻发现,三个矢量归一化,需要三个开方。迭代式开方太慢了,而快速开方有的时候又不满足精度要求。

                  

 方法4:重心坐标之和为1

 

         {

               BaryCenter = ( S(PAB)/S(PABC),S(PBC)/S(PABC),S(PAC)/S(PABC)) // 点P在三角形内的重心坐标

          

               if( BaryCenter.x + BaryCenter.y + BaryCenter.z >0.f )

                    return false

               return true;

          }

 

          其中S(PAB),S(ABC),S(PBC),S(PBC) 用上述的方法二种提到的计算三角形面积方法计算。 

 

综合比较

     方法1必须求叉乘,虽然可以通过首先排除不在平面内的点,但是后面仍要求三个叉乘和3个点乘(当然还可排除法优化)

     方法2看起来之需要求4个点乘,如果用叉乘方法计算面积,可能会导致效率低下

     方法3是看起来是最精巧的方法,但是效率也不能保证...3个开方

     方法4和方法2的效率差不多

 

 

posted on 2008-07-31 20:57 cgwolver 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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